Lemme d’Urysohn

Intuition

Etant donnés deux parties $A$ et $B$, on aimerait construire une application continue valant $0$ sur $A$ et $1$ sur $B$. Mais dans un espace topologique, en général, on ne dispose pas d’une distance permettant de créer facilement une telle transition.
Le lemme d’Urysohn donne une condition, appelée normalité, qui est suffisante pour réaliser cette séparation, à condition que les parties soient fermées.

Enoncé

Soit $X$ un espace topologique normal et soient $A,B \subseteq X$ deux fermés disjoints.
Alors, il existe une application continue
$$f:X \rightarrow [0,1]$$telle que $f(x)=0$ pour tout $x\in A$, et $f(x)=1$ pour tout $x\in B$.