Un cardinal ésotérique pour les compacts

Dans ce problème qui mêle de l’analyse fonctionnelle, de la topologie, et de la théorie des ensembles, nous calculons le cardinal de l’ensemble des espaces topologiques compacts dénombrables (à homéomorphisme près). Ce problème est une petite exploration de la $\textbf{théorie descriptive} \textbf{ des relations d'équivalence}$. Dans la suite, nous admettons que tout compact dénombrable est métrisable (conséquence du lemme d’Urysohn).

1. Bien poser le problème

La première partie consiste à "bien poser le problème". En effet, le lecteur aura sans doute remarqué que la collection des espaces compacts dénombrables ne forme pas un ensemble, mais une classe propre. L’objetctif de cette première partie est de reformuler la question pour pouvoir y répondre correctement. On dit que l’on va mettre en place un $\textbf{codage}$ du problème, dans un espace agréable.

1. Soit $K$ un espace topologique compact dénombrable. On considère l'espace de Banach $\mathcal{C}(K)$ comme étant l’espace des fonctions continues de $K$ dans $\mathbb{R}$ munit de la norme infinie. Pour $x\neq y \in K$, on pose $A_{x,y} = \lbrace f \in \mathcal{C}(K) \mid f(x) \neq f(y)\rbrace$. Montrer que $A_{x,y}$ est un ouvert dense de $\mathcal{C}(K)$.
2. En utilisant le lemme de Baire, montrer qu’il existe une application injective de $K$ dans $\mathbb{R}$. En déduire qu’il existe un compact $L \subset \mathbb{R}$ tel que $K$ et $L$ sont homéomorphes.

Désormais, l’on sait que tout compact dénombrable est homéomorphe à un sous-ensemble compact de $\mathbb{R}$. Ceci nous permet de reformuler notre problème, afin de mieux pouvoir y répondre : En notant $\mathcal{K}_{d}(\mathbb{R})$ l’ensemble des parties compactes et dénombrables de $\mathbb{R}$, et $\sim$ la relation d’équivalence définie sur $\mathcal{K}_{d}(\mathbb{R})$ par "$K \sim L$ ssi $K$ et $L$ sont homéomorphes", quel est le cardinal de l’ensemble quotient $\mathcal{K}_{d}(\mathbb{R})/\sim$ ?

2. Un outil fondamental

Pour répondre à la question posée, nous introduisons un outil d’une grande importance : la $\textbf{dérivation} \textbf{ de Cantor-Bendixson}$. Si $K \in \mathcal{K}_{d}(\mathbb{R})$, on note $D(K)$ l’espace topologique composé de tous les points de $K$ qui ne sont pas isolés. En d’autres termes, $D(K)$ est le sous-espace topologique de $K$ obtenu en lui retirant tous ses points isolés. On définit pour tout ordinal $\alpha$ l’objet $D^{\alpha}(K)$ par induction :

• $D^{1}(K) = D(K)$,
• $D^{\alpha+1}(K) = D(D^{\alpha}(K))$,
• si $\lambda$ est un ordinal limite, $D^{\lambda}(K) = \bigcap_{\alpha < \lambda}D^{\alpha}(K)$.

1. Montrer que pour tout $\alpha$, $D^{\alpha}(K)$ est fermé dans $K$,
2. Montrer que tout espace compact dénombrable parfait est vide. En déduire qu’il existe un ordinal $\alpha < \omega_{1}$ tel que $D^{\alpha}(K) = \emptyset$.

On note $\mathfrak{C}(K)$ le plus petit ordinal $\alpha$ tel que $D^{\alpha}(K) = \emptyset$, qu’on appelle $\textbf{rang de}\textbf{ Cantor- Bendixson de } K$.

3. Premiers pas vers le résultat

On constate facilement que si $K \sim L$, alors $\mathfrak{C}(K) = \mathfrak{C}(L)$. Nous allons montrer qu’une réciproque est vraie, en introduisant une quantité auxiliaire : si $K$ et $L$ ont le même rang de Cantor-Bendixson, et si $K$ et $L$ ont le même résidu (voir ci-dessous), $K$ et $L$ sont homéomorphes.

1. Montrer que pour tout $K \in \mathcal{K}_{d}(\mathbb{R})$, $\mathfrak{C}(K)$ est un ordinal successeur plus grand que $2$.

Si $K \in \mathcal{K}_{d}(\mathbb{R})$, et que $\mathfrak{C}(K) = \alpha+1$, on appelle $\textbf{résidu de } K$ le cardinal de $D^{\alpha}(K)$.

2. Montrer que pour tout $K \in \mathcal{K}_{d}(\mathbb{R})$, le résidu de $K$ est un entier naturel non nul,
3. Montrer que si $K \in \mathcal{K}_{d}(\mathbb{R})$, si $\mathfrak{C}(K) = 2$ et que si le résidu de $K$ est $1$, alors $K$ est homéomorphe à $\omega +1$,
4. On note $P(\alpha,n)$ l’assertion : "tout élément de $\mathcal{K}_{d}(\mathbb{R})$ de rang de Cantor-Bendixson $\alpha+1$ et de résidu $n$ est homéomorphe à $\omega^{\alpha} \times n +1$".

• Montrer que si $P(\alpha,1)$ est vraie pour un certian ordinal $\alpha \geq 1$, pour tout entier naturel $n$, $P(\alpha,n)$ est aussi vraie,
• Montrer que si $\alpha$ est un ordinal tel que pour tout $\beta < \alpha$, et pour tout entier naturel $n$, $P(\beta,n)$ est vraie, alors $P(\alpha,1)$ est vraie.

5. Montrer que pour tout $K,L \in \mathcal{K}_{d}(\mathbb{R})$, si $\mathfrak{C}(K) = \mathfrak{C}(L)$ et si $K$ et $L$ ont le même résidu, alors $K \sim L$.

4. La fin du voyage

On considère l’application $\phi : \mathcal{K}_{d}(\mathbb{R})/\sim \longrightarrow \omega_{1}\setminus \lbrace 0,1 \rbrace \times \omega\setminus \lbrace 0 \rbrace$, qui à une classe $[K]$ associe le couple ($\mathfrak{C}(K), n)$ où $n$ est le résidu de $K$.

1. Montrer que l’application $\phi$ est bien définie, et injective,
2. Montrer que pour tout ordinal $\alpha$ et tout entier naturel $n$, l’ordinal $\omega^{\alpha}\times n +1$ est un compact dénombrable de rang de Cantor-Bendixson $\alpha$, et de résidu $n$. En déduire que $\phi$ est surjective.
3. Déduire de la question précédente que $\lvert \mathcal{K}_{d}(\mathbb{R})/\sim \rvert = \aleph_{1}$.

Mot de fin

En particulier, le nombre de classe d’homéomorphie de compacts dénombrables de $\mathbb{R}$ est soumit à l’hypothèse du continu. En analyse, quand on étudie des familles "naturelles" de sous-ensembles compacts, l’on est souvent amené à travailler avec des ensembles compliqués. Par exemple, l’ensemble des compacts dénombrables de $\mathbb{R}$ n’est pas borélien (pour la tribu borélienne d’Effros). Les intérêts du résultat présenté par ce problème sont multiples, en voici deux de nature informelle :

• intuitivement ce résultat nous dit que, même si l’on travaille dans un cadre d’apparence simple, l’on peut faire face à des objets de nature assez "ésotérique" (ici, c’est $\aleph_{1}$ qui est venu à notre rencontre),
• le nombre de classes d’une relation d’équivalence "naturelle" n’est pas toujours "concret".