Fabriquer une fonction interrupteur

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Soit $X$ un espace topologique normal, $U$ un ouvert de $X$ , et $F$ un fermé inclus dans $U$ .

Montrer qu’il existe une application continue
$f:X\to [0,1]$ telle que $f(x)=1$ si $x\in F$ , et $f(x)=0$ si $x\notin U$ .

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Solution by Ancient Tree

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Il s’agit d’une application directe du lemme d’Urysohn, avec les fermés $F$ et $X\backslash U$ (ce dernier étant fermé puisque $U$ est ouvert), qui sont disjoints puisque si $x\notin U$ , alors $x\notin F$ .

Donc, d’après le lemme, il existe une application continue $f:X\to [0,1]$ valant $0$ sur $X\backslash U$ et $1$ sur $F$ . C’est exactement ce qu’on voulait !

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