Fabriquer une fonction interrupteur

Il s’agit d’une application directe du lemme d’Urysohn, avec les fermés $F$ et $X\backslash U$ (ce dernier étant fermé puisque $U$ est ouvert), qui sont disjoints puisque si $x\notin U$, alors $x\notin F$.

Donc, d’après le lemme, il existe une application continue $f:X\to [0,1]$ valant $0$ sur $X\backslash U$ et $1$ sur $F$. C’est exactement ce qu’on voulait !