Limite inductive d’ensembles

Définition intuitive

Parmi les opérations usuelles sur les ensembles, la limite inductive en est une plus complexe et aux multiples applications. Elle permet, étant donné une collection d’ensembles particulière (qu’on appelle $\textbf{système inductif}$), de construire un nouvel ensemble qui "contient" ladite collection, tout en préservant sa structure. En un certain sens, c’est une généralisation de la notion d'union.

Définition formelle

Soit $(I,\leq)$ un ensemble préordonné. Soit $(E_{\alpha})_{\alpha \in I}$ une famille d’ensembles indexée par $I$, à laquelle on associe une famille d’applications $(f_{\beta,\alpha} : E_{\alpha} \longrightarrow E_{\beta})_{\alpha \leq \beta}$. On dit que le couple $((E_{\alpha})_{\alpha},(f_{\beta,\alpha})_{\alpha \leq \beta})$ est un $\textbf{système inductif}$ si les conditions suivantes sont satisfaites :

• Pour tous $\alpha \leq \beta \leq \gamma \in I$, $f_{\gamma,\beta} \circ f_{\beta,\alpha} = f_{\gamma,\alpha}$,
• Pour tout $\alpha \in I$, $f_{\alpha,\alpha} = \mathrm{Id_{E_{\alpha}}}$.

On appelle $\textbf{limite inductive}$ du système $((E_{\alpha})_{\alpha},(f_{\alpha,\beta})_{\beta \leq \alpha})$ toute paire $(\mathcal{L},(\phi_{\alpha})_{\alpha})$ où $\mathcal{L}$ est un ensemble, et $\phi_{\alpha} : E_{\alpha} \longrightarrow \mathcal{L}$ est une application satisfaisant les conditions suivantes :

$\mathbf{(i)}$ Pour tous $\alpha \leq \beta \in I$, $\phi_{\beta} \circ f_{\beta,\alpha} =\phi_{\alpha}$.
$\mathbf{(ii)}$ Pour toute autre paire $(\mathcal{L}',(\psi_{\alpha})_{\alpha})$ qui satisfait $\mathbf{(i)}$, il existe une unique application $f : \mathcal{L} \longrightarrow \mathcal{L}'$ telle que pour tout $\alpha \in I$, $f \circ \phi_{\alpha} = \psi_{\alpha}$ (commutativité du triangle).

Il n’existe pas toujours de limite inductive d’un système indutif d’ensembles (mais si l’on suppose que $(I,\leq)$ est filtrant (à droite), une telle limite existe). Dans le cas où une limite $(\mathcal{L},(\phi_{\alpha})_{\alpha})$ existe, on note souvent $(\mathcal{L},(\phi_{\alpha})_{\alpha}) = \underset{\longrightarrow}{\mathrm{lim}} ((E_{\alpha})_{\alpha}, (f_{\beta,\alpha})_{\alpha \leq \beta})$ (ou simplement $\underset{\longrightarrow}{\mathrm{lim}}(E_{\alpha})_{\alpha}$).

Construction d’une limite inductive

Soit $E \stackrel{\mathrm{def}}{=} \coprod_{\alpha}E_{\alpha}$ la réunion disjointe des $(E_{\alpha})_{\alpha}$. On note $\iota_{\alpha}$ l’injection canonique de $E_{\alpha}$ dans $E$. On dit que deux éléments $x \in E_{\alpha}$ et $y \in E_{\beta}$ de $E$ sont $\mathbf{équivalents}$ s’il existe un élément $\gamma \in I$ tel que $\gamma \geq \alpha$ et $\gamma \geq \beta$ tel que $f_{\gamma,\alpha}(x) = f_{\gamma,\beta}(y)$. $\textbf{Si}$ ceci définit une relation d’équivalence $R$ sur $E$, on considère $\pi : E \longrightarrow E/R$ la projection canonique modulo $R$. On pose $\phi_{\alpha} \stackrel{\mathrm{def}}{=} \pi \circ \iota_{\alpha}$. Le couple $(E/R, (\phi_{\alpha})_{\alpha})$ est bien une limite inductive du système $((E_{\alpha})_{\alpha},(f_{\alpha,\beta})_{\beta \leq \alpha})$.

En général, $R$ n’est pas une relation d’équivalence, mais si $(I,\leq)$ est filtrant, elle l’est, et il existe alors une limite inductive du système. Il peut exister des limites inductives de systèmes même si $(I,\leq)$ n’est pas filtrant.

Remarque

• Ici nous parlons "d’une" limite inductive. On peut montrer que toutes les limites inductives d’un système sont en bijection, ce qui explique pourquoi l’on parle (abusivement) de "la" limite inductive.

• Dans le cas des structures algébriques, on peut aussi développer une notion de limite inductive, et dans ce cas, toutes les limites inductives d’un système sont isomorphes, ce qui implique que dans ce cadre aussi, on parle (abusivement) de "la limite inductive" d’un système.

• La notion de limite inductive est un cas particulier de celle de colimite en théorie des catégories.

Exemples

• Si l’ensemble $I$ est munit de $\textbf{l'ordre trivial}$ (i.e. celui où $x \leq y$ si et seulement si $x = y$), $I$ n’est certes pas filtrant, mais la relation $R$ est bien une relation d’équivalence, puisqu’équivalente ici à l’égalité sur $E$. Dans ce cas, la limite du système est alors tout siplement l’union des $(E_{\alpha})_{\alpha}$.