Limite inductive de corps

Soit $I$ un ensemble préordonné. On appelle $\textbf{système inductif de corps}$ tout système inductif d’ensembles $S =((K_{\alpha})_{\alpha}, (f_{\beta,\alpha})_{\alpha \leq \beta})$ où pour tout $\alpha \in I$, $K_{\alpha}$ est un corps, et où pour tous $\alpha \leq \beta$, $f_{\beta,\alpha}$ est une extension de corps. On appelle limite inductive du système $S$ tout couple $(K,(\phi_{\alpha})_{\alpha})$ où $K$ est un corps et où, $\phi_{\alpha} : K_{\alpha} \longrightarrow K$ est une extension de corps tel que :

• Pour tout $\alpha \leq \beta \in I$, $\phi_{\beta} \circ f_{\beta,\alpha} = \phi_{\alpha}$,
• Pour tout autre couple $(K',(\psi_{\alpha})_{\alpha})$ satisfaisant le point précédent, il existe une unique extension de corps $f : K \longrightarrow K'$ telle que pour tout $\alpha \in I$, $f \circ \phi_{\alpha} = \psi_{\alpha}$.

$(\mathbf{1})$ Montrer que si le système $S$ admet deux limites $(K,(\phi_{\alpha})_{\alpha})$ et $(K',(\psi_{\alpha})_{\alpha})$, alors $K$ et $K'$ sont isomorphes en tant que corps.

$(\mathbf{2})$ On suppose à présent que $(I,\leq)$ est filtrant. En s’inspirant de la construction de limite inductive d’ensembles présentée dans la définition, construire un corps qui est une limite inductive de $S$.

$(\mathbf{3})$ Soit $(K,(\phi_{\alpha})_{\alpha})$ une limite de $S$. Montrer que $K = \bigcup_{\alpha}\phi_{\alpha}(K_{\alpha})$.

$\mathbf{(4)}$ On suppose que $I$ admet un élément minimal $\mu$, que pour tout $\alpha$, $K_{\alpha}$ est une extension algébrique de $K_{\mu}$. Montrer que $\underset{\longrightarrow}{\mathrm{lim}}\,S$ est une extension algébrique de $K_{\mu}$.

$\mathbf{(5)}$ On suppose que pour tout $\alpha \in I$, et pour tout polynôme $P \in K_{\alpha}[X]$, il existe $\beta \geq \alpha$ tel que $P$ a une racine dans $K_{\beta}$. Montrer que $\underset{\longrightarrow}{\mathrm{lim}}\,S$ est algébriquement clos.

$(\mathbf{6})$ On rappelle que si $m,n \in \mathbb{N}^{*}$, $\mathbb{F}_{p^{n}}$ est une extension de $\mathbb{F}_{p^{m}}$ si et seulement si $m \mid n$, et on note $\iota_{n,m}$ le morphisme de l’extension. On rappelle que $(\mathbb{N}\setminus \lbrace 0 \rbrace,\mid)$ est un ensemble ordonné. Soit le système inductif $S'=((\mathbb{F}_{p^{m}})_{m \in \mathbb{N} \setminus \lbrace 0 \rbrace},(\iota_{n,m})_{m \mid n})$. Montrer que $S'$ admet une limite, et que $\underset{\longrightarrow}{\mathrm{lim}} \,S'$ est une clôture algébrique de $\mathbb{F}_{p}$.