Linéarisation de polynômes trigonométriques
Concept history
A revision trail for this concept page.
Revision 7059
10/12/2026, 5:48:45 PM · SalixBabylonica
Updated text
Compare with revision 70582 changed lines
1
##### But2
Soient \(p,q\in\mathbb N\). 3
On souhaite exprimer \(\cos^p(\theta)\sin^q(\theta)\) comme une somme de cosinus lorsque \(q\) est pair, et de sinus sinon.4
5
Pour obtenir ces formules de linéarisation, l'idée est d'utiliser, dans un premier temps, la [[formule d'Euler]], puis dans un second temps, de développer à l'aide de la formule du [[Binôme de Newton | binome de Newton]]. Finalement, il suffira de faire apparaître des $\cos$ ou $\sin$ en réutilisant la formule d'Euler.6
7
##### Exemple8
On souhaite linéariser 8
On souhaite linéariser $\cos^3(\theta)\sin^2(\theta)$. On procède alors de la manière suivante :9
\[\begin{align*} 10
\cos^3(\theta)\sin^2(\theta) &11
= \left(\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\right)^3 \left(\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\right)^2 \\ &12
= -\frac{1}{32} \left(e^{i\theta}+e^{-i\theta}\right)^3 \left(e^{i\theta}-e^{-i\theta}\right)^2 \\ &13
= -\frac{1}{32} \Bigl( e^{3i\theta} +3e^{i\theta} +3e^{-i\theta} +e^{-3i\theta} \Bigr) \Bigl( e^{2i\theta} -2 +e^{-2i\theta} \Bigr) \qquad \text{(binôme de Newton)} \\ &14
=-\frac{1}{32} \Bigl( e^{5i\theta} +e^{3i\theta} -2e^{i\theta} -2e^{-i\theta} +e^{-3i\theta} +e^{-5i\theta} \Bigr) \\ &15
= -\frac{1}{32} \Bigl( (e^{5i\theta}+e^{-5i\theta}) +(e^{3i\theta}+e^{-3i\theta}) -2(e^{i\theta}+e^{-i\theta}) \Bigr) \\ &16
= -\frac{1}{32} \Bigl( 2\cos(5\theta) + 2\cos(3\theta) - 4\cos(\theta) \Bigr) \qquad \text{(formule d'Euler)} \\ &17
= -\frac{1}{16}\cos(5\theta) -\frac{1}{16}\cos(3\theta) +\frac{1}{8}\cos(\theta). 18
\end{align*}\]Revision 7058
10/12/2026, 5:48:05 PM · SalixBabylonica
Concept created
##### But
Soient \(p,q\in\mathbb N\).
On souhaite exprimer \(\cos^p(\theta)\sin^q(\theta)\) comme une somme de cosinus lorsque \(q\) est pair, et de sinus sinon.
Pour obtenir ces formules de linéarisation, l'idée est d'utiliser, dans un premier temps, la [[formule d'Euler]], puis dans un second temps, de développer à l'aide de la formule du [[Binôme de Newton | binome de Newton]]. Finalement, il suffira de faire apparaître des $\cos$ ou $\sin$ en réutilisant la formule d'Euler.
##### Exemple
On souhaite linéariser
\[\begin{align*}
\cos^3(\theta)\sin^2(\theta) &
= \left(\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\right)^3 \left(\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\right)^2 \\ &
= -\frac{1}{32} \left(e^{i\theta}+e^{-i\theta}\right)^3 \left(e^{i\theta}-e^{-i\theta}\right)^2 \\ &
= -\frac{1}{32} \Bigl( e^{3i\theta} +3e^{i\theta} +3e^{-i\theta} +e^{-3i\theta} \Bigr) \Bigl( e^{2i\theta} -2 +e^{-2i\theta} \Bigr) \qquad \text{(binôme de Newton)} \\ &
=-\frac{1}{32} \Bigl( e^{5i\theta} +e^{3i\theta} -2e^{i\theta} -2e^{-i\theta} +e^{-3i\theta} +e^{-5i\theta} \Bigr) \\ &
= -\frac{1}{32} \Bigl( (e^{5i\theta}+e^{-5i\theta}) +(e^{3i\theta}+e^{-3i\theta}) -2(e^{i\theta}+e^{-i\theta}) \Bigr) \\ &
= -\frac{1}{32} \Bigl( 2\cos(5\theta) + 2\cos(3\theta) - 4\cos(\theta) \Bigr) \qquad \text{(formule d'Euler)} \\ &
= -\frac{1}{16}\cos(5\theta) -\frac{1}{16}\cos(3\theta) +\frac{1}{8}\cos(\theta).
\end{align*}\]