Linéarisation de polynômes trigonométriques

But

Soient $p,q\in\mathbb N$.
On souhaite exprimer $\cos^p(\theta)\sin^q(\theta)$ comme une somme de cosinus lorsque $q$ est pair, et de sinus sinon.

Pour obtenir ces formules de linéarisation, l’idée est d’utiliser, dans un premier temps, la formule d’Euler, puis dans un second temps, de développer à l’aide de la formule du binome de Newton. Finalement, il suffira de faire apparaître des $\cos$ ou $\sin$ en réutilisant la formule d’Euler.

Exemple

On souhaite linéariser $\cos^3(\theta)\sin^2(\theta)$. On procède alors de la manière suivante :
$$\begin{align*} \cos^3(\theta)\sin^2(\theta) & = \left(\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\right)^3 \left(\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\right)^2 \\ & = -\frac{1}{32} \left(e^{i\theta}+e^{-i\theta}\right)^3 \left(e^{i\theta}-e^{-i\theta}\right)^2 \\ & = -\frac{1}{32} \Bigl( e^{3i\theta} +3e^{i\theta} +3e^{-i\theta} +e^{-3i\theta} \Bigr) \Bigl( e^{2i\theta} -2 +e^{-2i\theta} \Bigr) \qquad \text{(binôme de Newton)} \\ & =-\frac{1}{32} \Bigl( e^{5i\theta} +e^{3i\theta} -2e^{i\theta} -2e^{-i\theta} +e^{-3i\theta} +e^{-5i\theta} \Bigr) \\ & = -\frac{1}{32} \Bigl( (e^{5i\theta}+e^{-5i\theta}) +(e^{3i\theta}+e^{-3i\theta}) -2(e^{i\theta}+e^{-i\theta}) \Bigr) \\ & = -\frac{1}{32} \Bigl( 2\cos(5\theta) + 2\cos(3\theta) - 4\cos(\theta) \Bigr) \qquad \text{(formule d'Euler)} \\ & = -\frac{1}{16}\cos(5\theta) -\frac{1}{16}\cos(3\theta) +\frac{1}{8}\cos(\theta). \end{align*}$$