Mesure de comptage
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Revision 6835
10/7/2026, 3:17:22 PM · SalixBabylonica
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1
##### Définition intuitive 2
Concrétement, la mesure de comptage compte le nombre d'éléments d'un ensemble de la tribu.3
4
##### Définition formelle5
On définit sur $(\mathbb N,\mathcal P(\mathbb N))$ la *mesure de comptage* de la manière suivante :5
Soit $(E,\mathcal{A})$ un espace mesurée.6
\[ \forall A\in\mathcal P(\mathbb N), \qquad \mu(A)=\operatorname{Card}(A), \]6
On définit sur $(E,\mathcal{A}))$ la *mesure de comptage* de la manière suivante :7
\[ \forall B\in\mathcal P(\mathbb N), \qquad \mu(B)=\operatorname{Card}(B), \]7
où l'on convient que8
\[ \operatorname{Card}(A)=+\infty \]9
\[ \operatorname{Card}(B)=+\infty \]9
lorsque $A$ est infini. 10
lorsque $B$ est infini. 10
11
##### Remarque 12
- La mesure de comptage peut également s'écrire13
\[ \mu=\sum_{n\in\mathbb N}\delta_n, \]14
où $\delta_n$ désigne la mesure de Dirac en $n$. En effet, pour tout $A\subset\mathbb N$,15
\[ \mu(A) = \sum_{n\in\mathbb N}\delta_n(A) = \sum_{n\in\mathbb N}\mathbf 1_A(n) = \operatorname{Card}(A). \]16
17
##### Intégration 18
- Si $f:\mathbb N\to[0,+\infty]$ est mesurable, alors14
- Si $f:E\to[0,+\infty]$ est mesurable, alors15
\[ \int_E f\,d\mu = \sum_{x\in E} f(x). \]16
- Une fonction $f:E\to\mathbb R$ est intégrable par rapport à la mesure de comptage $\mu$ si17
\[ \int_E |f|\,d\mu<+\infty. \]18
- Si $f:E\to\mathbb R$ est intégrable, alors19
\[ \int_E f\,d\mu = \sum_{x\in E} f(x). \]20
##### Remarque 21
- Lorsque $(E,\mathcal A) = (\mathbb N,\mathcal P(\mathbb N)),$ les formules précédentes deviennent19
\[ \int_{\mathbb N} f\,d\mu = \sum_{n=0}^{+\infty} f(n). \]20
- On dit que $f:\mathbb N\to\mathbb R$ est intégrable par rapport à la mesure de comptage $\mu$ si23
Ainsi, l'intégration par rapport à la mesure de comptage sur $\mathbb N$ n'est rien d'autre que la somme des termes d'une suite.21
\[ \int_{\mathbb N} |f|\,d\mu < +\infty. \]24
25
- Lorsque $(E,\mathcal{A}) = (\mathbb N,\mathcal P(\mathbb N)$, La mesure de comptage peut également s'écrire26
\[ \mu=\sum_{n\in\mathbb N}\delta_n, \]27
où $\delta_n$ désigne la [[mesure de Dirac]] en $n$. En effet, pour tout $B\subset\mathbb N$,28
\[ \mu(B) = \sum_{n\in\mathbb N}\delta_n(B) = \sum_{n\in\mathbb N}\mathbf 1_B(n) = \operatorname{Card}(B). \]Revision 6825
10/7/2026, 2:35:34 PM · SalixBabylonica
Updated domain
domainLinear algebraFunctional analysis
Revision 6764
10/6/2026, 2:01:05 PM · SalixBabylonica
Updated text
Compare with revision 67632 changed lines
1
##### Définition intuitive 2
Concrétement, la mesure de comptage compte simplement le nombre d'éléments d'un ensemble de la tribu.2
Concrétement, la mesure de comptage compte le nombre d'éléments d'un ensemble de la tribu.3
4
##### Définition formelle5
On définit sur $(\mathbb N,\mathcal P(\mathbb N))$ la *mesure de comptage* de la manière suivante :6
\[ \forall A\in\mathcal P(\mathbb N), \qquad \mu(A)=\operatorname{Card}(A), \]7
où l'on convient que8
\[ \operatorname{Card}(A)=+\infty \]9
lorsque $A$ est infini. 10
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##### Remarque 12
- La mesure de comptage peut également s'écrire13
\[ \mu=\sum_{n\in\mathbb N}\delta_n, \]14
où $\delta_n$ désigne la mesure de Dirac en $n$. En effet, pour tout $A\subset\mathbb N$,15
\[ \mu(A) = \sum_{n\in\mathbb N}\delta_n(A) = \sum_{n\in\mathbb N}\mathbf 1_A(n) = \operatorname{Card}(A). \]16
17
##### Intégration 18
- Si $f:\mathbb N\to[0,+\infty]$ est mesurable, alors19
\[ \int_{\mathbb N} f\,d\mu = \sum_{n=0}^{+\infty} f(n). \]20
- On dit que $f:\mathbb N\to\mathbb R$ est intégrable par rapport à la mesure de comptage $\mu$ si21
\[ \int_{\mathbb N} |f|\,d\mu < +\infty. \]Revision 6763
10/6/2026, 1:58:53 PM · SalixBabylonica
Concept created
##### Définition intuitive
Concrétement, la mesure de comptage compte simplement le nombre d'éléments d'un ensemble de la tribu.
##### Définition formelle
On définit sur $(\mathbb N,\mathcal P(\mathbb N))$ la *mesure de comptage* de la manière suivante :
\[ \forall A\in\mathcal P(\mathbb N), \qquad \mu(A)=\operatorname{Card}(A), \]
où l'on convient que
\[ \operatorname{Card}(A)=+\infty \]
lorsque $A$ est infini.
##### Remarque
- La mesure de comptage peut également s'écrire
\[ \mu=\sum_{n\in\mathbb N}\delta_n, \]
où $\delta_n$ désigne la mesure de Dirac en $n$. En effet, pour tout $A\subset\mathbb N$,
\[ \mu(A) = \sum_{n\in\mathbb N}\delta_n(A) = \sum_{n\in\mathbb N}\mathbf 1_A(n) = \operatorname{Card}(A). \]
##### Intégration
- Si $f:\mathbb N\to[0,+\infty]$ est mesurable, alors
\[ \int_{\mathbb N} f\,d\mu = \sum_{n=0}^{+\infty} f(n). \]
- On dit que $f:\mathbb N\to\mathbb R$ est intégrable par rapport à la mesure de comptage $\mu$ si
\[ \int_{\mathbb N} |f|\,d\mu < +\infty. \]