Mesure de comptage

Définition intuitive

Concrétement, la mesure de comptage compte le nombre d’éléments d’un ensemble de la tribu.

Définition formelle

Soit $(E,\mathcal{A})$ un espace mesurée.
On définit sur $(E,\mathcal{A}))$ la mesure de comptage de la manière suivante :
$$\forall B\in\mathcal P(\mathbb N), \qquad \mu(B)=\operatorname{Card}(B),$$où l’on convient que
$$\operatorname{Card}(B)=+\infty$$lorsque $B$ est infini.

Intégration

• Si $f:E\to[0,+\infty]$ est mesurable, alors
  $$\int_E f\,d\mu = \sum_{x\in E} f(x).$$
• Une fonction $f:E\to\mathbb R$ est intégrable par rapport à la mesure de comptage $\mu$ si
  $$\int_E |f|\,d\mu<+\infty.$$
• Si $f:E\to\mathbb R$ est intégrable, alors
  $$\int_E f\,d\mu = \sum_{x\in E} f(x).$$

Remarque

• Lorsque $(E,\mathcal A) = (\mathbb N,\mathcal P(\mathbb N)),$ les formules précédentes deviennent
  $$\int_{\mathbb N} f\,d\mu = \sum_{n=0}^{+\infty} f(n).$$Ainsi, l’intégration par rapport à la mesure de comptage sur $\mathbb N$ n’est rien d’autre que la somme des termes d’une suite.

• Lorsque $(E,\mathcal{A}) = (\mathbb N,\mathcal P(\mathbb N)$, La mesure de comptage peut également s’écrire
  $$\mu=\sum_{n\in\mathbb N}\delta_n,$$où $\delta_n$ désigne la mesure de Dirac en $n$. En effet, pour tout $B\subset\mathbb N$,
  $$\mu(B) = \sum_{n\in\mathbb N}\delta_n(B) = \sum_{n\in\mathbb N}\mathbf 1_B(n) = \operatorname{Card}(B).$$