Mesure de Dirac

Définition intuitive

Concrétement, la mesure de Dirac au point $x$ évalué en l’ensemble $B$ de la tribu $\mathcal{A}$ détermine si l’élément $x$ appartient à $B$.

Définition formelle

Soit $(E,\mathcal{A})$ un espace mesurable tel que $\{x\} \in \mathcal{A}$.
On définit sur $(E,\mathcal A)$ la mesure de Dirac au point $x$ de la manière suivante :
$$\forall B\in\mathcal A, \qquad \delta_x(B) = \left \{ \begin{array}{ll} 1 & \text{si } x\in B,\\[0.3em] 0 & \text{si } x\notin B. \end{array} \right.$$

Remarque

• On peut remarquer que $\delta_x(B) = \mathbb{1}_{B}(x)$.

Intégration

• Si $f:E\to \overline{\mathbb{R}}$ est mesurable, alors
  $$\int_E f\,d\delta_x = f(x).$$Plus généralement, si $f:E\to\mathbb R$ est intégrable par rapport à $\delta_x$, alors
  $$\int_E f\,d\delta_x = f(x).$$
• En particulier,
  $$f\in L^1(E,\delta_x) \iff |f(x)|<+\infty.$$