Mesure de Dirac
Concept history
A revision trail for this concept page.
Revision 6849
10/7/2026, 4:06:47 PM · quark67
Légère reformulation, en utilisant dans la définition intuitive les notations employées dans la définition formelle, et en nommant explicitement la tribu mentionnée dans la définition intuitive, afin de faire le lien avec la déf. formelle
Compare with revision 68334 changed lines
1
##### Définition intuitive 2
Concrétement, la mesure de dirac au point $x$ évalué en l'ensemble $A$ de la tribu détermine si l'élément $x$ appartient à $A$.2
Concrétement, la mesure de Dirac au point $x$ évalué en l'ensemble $B$ de la tribu $\mathcal{A}$ détermine si l'élément $x$ appartient à $B$.3
4
##### Définition formelle5
Soit $(E,\mathcal{A}$ un espace mesurable tel que $\{x\} \in \mathcal{A}$.5
Soit $(E,\mathcal{A})$ un espace mesurable tel que $\{x\} \in \mathcal{A}$.6
On définit sur $(E,\mathcal A)$ la *mesure de Dirac au point $x$* de la manière suivante :7
\[ \forall B\in\mathcal A, \qquad \delta_x(B) = \left \{ \begin{array}{ll} 1 & \text{si } x\in B,\\[0.3em] 0 & \text{si } x\notin B. \end{array} \right. \]8
9
10
##### Remarque 11
- On peut remarquer que $\delta_x(B) = \mathbb{1}_{B}(x)$.12
13
##### Intégration 14
- Si $f:E\to \overline{\mathbb{R}}$ est mesurable, alors15
\[ \int_E f\,d\delta_x = f(x). \]16
Plus généralement, si $f:E\to\mathbb R$ est intégrable par rapport à $\delta_x$, alors17
\[ \int_E f\,d\delta_x = f(x). \]18
- En particulier,19
\[ f\in L^1(E,\delta_x) \iff |f(x)|<+\infty. \]Revision 6833
10/7/2026, 3:07:08 PM · SalixBabylonica
Concept created
##### Définition intuitive
Concrétement, la mesure de dirac au point $x$ évalué en l'ensemble $A$ de la tribu détermine si l'élément $x$ appartient à $A$.
##### Définition formelle
Soit $(E,\mathcal{A}$ un espace mesurable tel que $\{x\} \in \mathcal{A}$.
On définit sur $(E,\mathcal A)$ la *mesure de Dirac au point $x$* de la manière suivante :
\[ \forall B\in\mathcal A, \qquad \delta_x(B) = \left \{ \begin{array}{ll} 1 & \text{si } x\in B,\\[0.3em] 0 & \text{si } x\notin B. \end{array} \right. \]
##### Remarque
- On peut remarquer que $\delta_x(B) = \mathbb{1}_{B}(x)$.
##### Intégration
- Si $f:E\to \overline{\mathbb{R}}$ est mesurable, alors
\[ \int_E f\,d\delta_x = f(x). \]
Plus généralement, si $f:E\to\mathbb R$ est intégrable par rapport à $\delta_x$, alors
\[ \int_E f\,d\delta_x = f(x). \]
- En particulier,
\[ f\in L^1(E,\delta_x) \iff |f(x)|<+\infty. \]