Ivan Shishkin, Birch Grove

Mesure

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Revision 7852

10/27/2026, 12:38:44 PM · SalixBabylonica

Added exercise "Propriétés élémentaires des mesures"

linked exercisesNonePropriétés élémentaires des mesures

Revision 4938

9/14/2026, 10:19:16 PM · darktoaster

Concept reviewed

statusUsableReviewed

Revision 4937

9/14/2026, 10:19:13 PM · darktoaster

Singletons visibles (on met des \ à chaque {)

Compare with revision 48964 changed lines
1##### Définition intuitive
2
3Une mesure est une façon d'attribuer une « taille » aux ensembles.
4
5Selon le contexte, cette taille peut représenter une [[longueur|longueur]], une [[aire|aire]], un [[volume|volume]], une [[probabilité|probabilité]], etc.
6
7On veut notamment que deux ensembles disjoints aient pour mesure totale la somme de leurs mesures. Par exemple, si deux morceaux disjoints ont respectivement pour mesures $2$ et $3$, alors leur réunion doit avoir pour mesure $5$.
8
9##### Définition formelle
10
11Une mesure d'un [[Espace mesurable|espace mesurable]] $(X,\mathcal{A})$ est une application $\mu \colon \mathcal{A}\to [0,+\infty]$ telle que :
121) L'ensemble vide est de mesure nulle : $\mu(\varnothing)=0$
132) La mesure est $\sigma$-additive, c'est-à-dire que si $A_{1},A_{2}\ldots$ est une famille dénombrable d'éléments disjoints de $\mathcal{A}$, alors
14$$\mu\left(\bigcup\limits_n A_{n}\right)=\sum\limits_{n}\mu (A_n).$$
15
16##### Remarques
17- On ne demande l'additivité que pour les unions dénombrables. En effet, si on considère la mesure usuelle sur $\mathbb R$ (la longueur), chaque singleton est de mesure nulle :
18$$
19\mu({x})=0.
19\mu(\{x\})=0.
20$$
21Pourtant,
22$$
23\mathbb R=\bigcup_{x\in\mathbb R}{x}
23\mathbb R=\bigcup_{x\in\mathbb R}\{x\}
24$$
25n'est pas de mesure nulle. On ne peut donc pas exiger l'additivité pour les unions indénombrables.

Revision 4896

9/14/2026, 3:54:09 PM · quark67

Légères améliorations typographiques (notamment ∅ pour l'ensemble vide)

Compare with revision 48954 changed lines
1##### Définition intuitive
2
3Une mesure est une façon d'attribuer une « taille » aux ensembles.
4
5Selon le contexte, cette taille peut représenter une [[longueur|longueur]], une [[aire|aire]], un [[volume|volume]], une [[probabilité|probabilité]], etc.
6
7On veut notamment que deux ensembles disjoints aient pour mesure totale la somme de leurs mesures. Par exemple, si deux morceaux disjoints ont respectivement pour mesures $2$ et $3$, alors leur réunion doit avoir pour mesure $5$.
8
9##### Définition formelle
10
11Une mesure d'un [[Espace mesurable|espace mesurable]] $(X,\mathcal{A})$ est une application $\mu : \mathcal{A}\longrightarrow [0,+\infty]$ telle que :
11Une mesure d'un [[Espace mesurable|espace mesurable]] $(X,\mathcal{A})$ est une application $\mu \colon \mathcal{A}\to [0,+\infty]$ telle que :
121) L'ensemble vide est de mesure nulle : $\mu(\emptyset)=0$
121) L'ensemble vide est de mesure nulle : $\mu(\varnothing)=0$
132) La mesure est $\sigma$-additive, c'est-à-dire que si $A_{1},A_{2}\ldots$ est une famille dénombrable d'éléments disjoints de $\mathcal{A}$, alors
14$$\mu\left(\bigcup\limits_n A_{n}\right)=\sum\limits_{n}\mu (A_n).$$
15
16##### Remarques
17- On ne demande l'additivité que pour les unions dénombrables. En effet, si on considère la mesure usuelle sur $\mathbb R$ (la longueur), chaque singleton est de mesure nulle :
18$$
19\mu({x})=0.
20$$
21Pourtant,
22$$
23\mathbb R=\bigcup_{x\in\mathbb R}{x}
24$$
25n'est pas de mesure nulle. On ne peut donc pas exiger l'additivité pour les unions indénombrables.

Revision 4895

9/14/2026, 3:45:19 PM · SalixBabylonica

Concept marked usable

statusStubUsable

Revision 4774

9/13/2026, 11:14:44 AM · Ancient Tree

Concept created

##### Définition intuitive

Une mesure est une façon d'attribuer une « taille » aux ensembles.

Selon le contexte, cette taille peut représenter une [[longueur|longueur]], une [[aire|aire]], un [[volume|volume]], une [[probabilité|probabilité]], etc.

On veut notamment que deux ensembles disjoints aient pour mesure totale la somme de leurs mesures. Par exemple, si deux morceaux disjoints ont respectivement pour mesures $2$ et $3$, alors leur réunion doit avoir pour mesure $5$. 

##### Définition formelle

Une mesure d'un [[Espace mesurable|espace mesurable]] $(X,\mathcal{A})$ est une application $\mu : \mathcal{A}\longrightarrow [0,+\infty]$ telle que :
1) L'ensemble vide est de mesure nulle : $\mu(\emptyset)=0$ 
2) La mesure est $\sigma$-additive, c'est-à-dire que si $A_{1},A_{2}\ldots$ est une famille dénombrable d'éléments disjoints de $\mathcal{A}$, alors
$$\mu\left(\bigcup\limits_n A_{n}\right)=\sum\limits_{n}\mu (A_n).$$

##### Remarques
- On ne demande l'additivité que pour les unions dénombrables. En effet, si on considère la mesure usuelle sur $\mathbb R$ (la longueur), chaque singleton est de mesure nulle :
$$
\mu({x})=0.
$$
Pourtant,
$$
\mathbb R=\bigcup_{x\in\mathbb R}{x}
$$
n'est pas de mesure nulle. On ne peut donc pas exiger l'additivité pour les unions indénombrables.