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##### Définition intuitive

Une mesure est une façon d'attribuer une « taille » aux ensembles.

Selon le contexte, cette taille peut représenter une [[longueur|longueur]], une [[aire|aire]], un [[volume|volume]], une [[probabilité|probabilité]], etc.

On veut notamment que deux ensembles disjoints aient pour mesure totale la somme de leurs mesures. Par exemple, si deux morceaux disjoints ont respectivement pour mesures $2$ et $3$, alors leur réunion doit avoir pour mesure $5$. 

##### Définition formelle

Une mesure d'un [[Espace mesurable|espace mesurable]] $(X,\mathcal{A})$ est une application $\mu : \mathcal{A}\longrightarrow [0,+\infty]$ telle que :
1) L'ensemble vide est de mesure nulle : $\mu(\emptyset)=0$ 
2) La mesure est $\sigma$-additive, c'est-à-dire que si $A_{1},A_{2}\ldots$ est une famille dénombrable d'éléments disjoints de $\mathcal{A}$, alors
$$\mu\left(\bigcup\limits_n A_{n}\right)=\sum\limits_{n}\mu (A_n).$$

##### Remarques
- On ne demande l'additivité que pour les unions dénombrables. En effet, si on considère la mesure usuelle sur $\mathbb R$ (la longueur), chaque singleton est de mesure nulle :
$$
\mu({x})=0.
$$
Pourtant,
$$
\mathbb R=\bigcup_{x\in\mathbb R}{x}
$$
n'est pas de mesure nulle. On ne peut donc pas exiger l'additivité pour les unions indénombrables.