Mesure

Définition intuitive

Une mesure est une façon d’attribuer une « taille » aux ensembles.

Selon le contexte, cette taille peut représenter une longueur, une aire, un volume, une probabilité, etc.

On veut notamment que deux ensembles disjoints aient pour mesure totale la somme de leurs mesures. Par exemple, si deux morceaux disjoints ont respectivement pour mesures $2$ et $3$, alors leur réunion doit avoir pour mesure $5$.

Définition formelle

Une mesure d’un espace mesurable $(X,\mathcal{A})$ est une application $\mu : \mathcal{A}\longrightarrow [0,+\infty]$ telle que :

1. L’ensemble vide est de mesure nulle : $\mu(\emptyset)=0$
2. La mesure est $\sigma$-additive, c’est-à-dire que si $A_{1},A_{2}\ldots$ est une famille dénombrable d’éléments disjoints de $\mathcal{A}$, alors
   $$\mu\left(\bigcup\limits_n A_{n}\right)=\sum\limits_{n}\mu (A_n).$$

Remarques

• On ne demande l’additivité que pour les unions dénombrables. En effet, si on considère la mesure usuelle sur $\mathbb R$ (la longueur), chaque singleton est de mesure nulle :
  $$\mu({x})=0.$$Pourtant,
  $$\mathbb R=\bigcup_{x\in\mathbb R}{x}$$n’est pas de mesure nulle. On ne peut donc pas exiger l’additivité pour les unions indénombrables.