Ivan Shishkin, Birch Grove

Module sur un anneau

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Revision 4500

9/10/2026, 10:54:07 PM · Nolan_2o

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1##### Définition intuitive
2
3Un module sur un anneau est une construction similaire à un $\mathbb K$-espace vectoriel, où le corps $\mathbb K$ est remplacé par un anneau $A$.
4
5##### Définition formelle
6
7Soit $A$ un [[Anneau|anneau]] unitaire. Un $A$-module (à gauche) est un [[Groupe abélien|groupe abélien]] $(M,+)$ muni d'une opération externe
8
9$$
10*: A \times M \to M
11$$
12
13vérifiant, pour tous $a,b \in A$ et $m,n \in M$ :
14
15* $a*(m+n)=a*m+a*n$ ;
16* $(a+b)*m=a*m+b*m$ ;
17* $(ab)*m=a*(b*m)$ ;
18* $1*m=m$.
19
20#### Remarque.
21La définition précédente concerne les $A$-modules à gauche, pour lesquels l'anneau agit à gauche :
21La définition précédente concerne les $A$-modules à gauche, pour lesquels l'anneau agit à gauche:
22\[
23A\times M\to M,\qquad (a,m)\mapsto am.
24\]
25
26De manière analogue, un $A$-module à droite est un groupe abélien $(M,+)$ muni d'une opération externe
27\[
28M\times A\to M,\qquad (m,a)\mapsto ma,
29\]
30vérifiant les propriétés analogues, notamment
31\[
32(m*a)b=m(ab).
33\]
34
35Lorsque $A$ n'est pas commutatif, la distinction entre modules à gauche et à droite est importante : en général, une structure de module à gauche ne définit pas naturellement une structure de module à droite.
35Lorsque $A$ n'est pas commutatif, la distinction entre modules à gauche et à droite est importante. En général, une structure de module à gauche ne définit pas naturellement une structure de module à droite.
36
37On peut également munir $M$ en même temps d'une structure de $A$-module à gauche et d'une structure de $A$-module à droite si les deux actions sont compatibles, c'est-à-dire si
38\[
39(am)b=a(mb)
40\]
41pour tous $a,b\in A$ et $m\in M$, on dit que $M$ est un $A$-bimodule (ou module bilatère).
42
43##### Exemples
44
45* Tout espace vectoriel sur un corps $\mathbb K$ est naturellement un $\mathbb K$-module, l'opération externe étant la multiplication par un scalaire.
46* Tout anneau unitaire $A$ est un $A$-module à bilatère, avec pour action la multiplication dans $A$.
47* Les $\mathbb Z$-modules sont exactement les groupes abéliens.
48* $\mathbb C$ est un $\mathbb Z[i]$-module pour l'action définie par
49
50 $$
51 (a+ib)*z=(a+ib)z.
52 $$
53* $\mathbb R^n$ est un $M_n(\mathbb R)$-module à gauche pour l'action
54
55 $$
56 A*v=Av.
57 $$

Revision 4499

9/10/2026, 10:53:33 PM · Nolan_2o

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Compare with revision 449725 changed lines
1##### Définition intuitive
2
3Un module sur un anneau est une construction similaire à un $\mathbb K$-espace vectoriel, où le corps $\mathbb K$ est remplacé par un anneau $A$.
4
5##### Définition formelle
6
7Soit $A$ un [[Anneau|anneau]] unitaire. Un $A$-module (à gauche) est un [[Groupe abélien|groupe abélien]] $(M,+)$ muni d'une opération externe
8
9$$
10*: A \times M \to M
11$$
12
13vérifiant, pour tous $a,b \in A$ et $m,n \in M$ :
14
15* $a*(m+n)=a*m+a*n$ ;
16* $(a+b)*m=a*m+b*m$ ;
17* $(ab)*m=a*(b*m)$ ;
18* $1*m=m$.
19
20#### Remarque.
21La définition précédente concerne les $A$-modules à gauche, pour lesquels l'anneau agit à gauche :
22\[
23A\times M\to M,\qquad (a,m)\mapsto am.
24\]
25
26De manière analogue, un $A$-module à droite est un groupe abélien $(M,+)$ muni d'une opération externe
27\[
28M\times A\to M,\qquad (m,a)\mapsto ma,
29\]
30vérifiant les propriétés analogues, notamment
31\[
32(m*a)b=m(ab).
33\]
34
35Lorsque $A$ n'est pas commutatif, la distinction entre modules à gauche et à droite est importante : en général, une structure de module à gauche ne définit pas naturellement une structure de module à droite.
36
37On peut également munir $M$ en même temps d'une structure de $A$-module à gauche et d'une structure de $A$-module à droite si les deux actions sont compatibles, c'est-à-dire si
38\[
39(am)b=a(mb)
40\]
41pour tous $a,b\in A$ et $m\in M$, on dit que $M$ est un $A$-bimodule (ou module bilatère).
42
20##### Exemples
21
22* Tout espace vectoriel sur un corps $\mathbb K$ est naturellement un $\mathbb K$-module, l'opération externe étant la multiplication par un scalaire.
23* Tout anneau unitaire $A$ est un $A$-module à gauche, avec pour action la multiplication dans $A$.
46* Tout anneau unitaire $A$ est un $A$-module à bilatère, avec pour action la multiplication dans $A$.
24* Les $\mathbb Z$-modules sont exactement les groupes abéliens.
25* $\mathbb C$ est un $\mathbb Z[i]$-module pour l'action définie par
26
27 $$
28 (a+ib)*z=(a+ib)z.
29 $$
30* $\mathbb R^n$ est un $M_n(\mathbb R)$-module à gauche pour l'action
31
32 $$
33 A*v=Av.
34 $$

Revision 4497

9/10/2026, 10:33:38 PM · Nolan_2o

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Compare with revision 44962 changed lines
1##### Définition intuitive
2
3Un module sur un anneau est une construction similaire à un $\mathbb K$-espace vectoriel, où le corps $\mathbb K$ est remplacé par un anneau $A$.
4
5##### Définition formelle
6
7Soit $A$ un [[Anneau|anneau]] unitaire. Un $A$-module (à gauche) est un groupe abélien $(M,+)$ muni d'une opération externe
7Soit $A$ un [[Anneau|anneau]] unitaire. Un $A$-module (à gauche) est un [[Groupe abélien|groupe abélien]] $(M,+)$ muni d'une opération externe
8
9$$
10*: A \times M \to M
11$$
12
13vérifiant, pour tous $a,b \in A$ et $m,n \in M$ :
14
15* $a*(m+n)=a*m+a*n$ ;
16* $(a+b)*m=a*m+b*m$ ;
17* $(ab)*m=a*(b*m)$ ;
18* $1*m=m$.
19
20##### Exemples
21
22* Tout espace vectoriel sur un corps $\mathbb K$ est naturellement un $\mathbb K$-module, l'opération externe étant la multiplication par un scalaire.
23* Tout anneau unitaire $A$ est un $A$-module à gauche, avec pour action la multiplication dans $A$.
24* Les $\mathbb Z$-modules sont exactement les groupes abéliens.
25* $\mathbb C$ est un $\mathbb Z[i]$-module pour l'action définie par
26
27 $$
28 (a+ib)*z=(a+ib)z.
29 $$
30* $\mathbb R^n$ est un $M_n(\mathbb R)$-module à gauche pour l'action
31
32 $$
33 A*v=Av.
34 $$

Revision 4496

9/10/2026, 10:32:15 PM · Nolan_2o

Concept created

##### Définition intuitive

Un module sur un anneau est une construction similaire à un $\mathbb K$-espace vectoriel, où le corps $\mathbb K$ est remplacé par un anneau $A$.

##### Définition formelle

Soit $A$ un [[Anneau|anneau]] unitaire. Un $A$-module (à gauche) est un groupe abélien $(M,+)$ muni d'une opération externe

$$
*: A \times M \to M
$$

vérifiant, pour tous $a,b \in A$ et $m,n \in M$ :

* $a*(m+n)=a*m+a*n$ ;
* $(a+b)*m=a*m+b*m$ ;
* $(ab)*m=a*(b*m)$ ;
* $1*m=m$.

##### Exemples

* Tout espace vectoriel sur un corps $\mathbb K$ est naturellement un $\mathbb K$-module, l'opération externe étant la multiplication par un scalaire.
* Tout anneau unitaire $A$ est un $A$-module à gauche, avec pour action la multiplication dans $A$.
* Les $\mathbb Z$-modules sont exactement les groupes abéliens.
* $\mathbb C$ est un $\mathbb Z[i]$-module pour l'action définie par

  $$
  (a+ib)*z=(a+ib)z.
  $$
* $\mathbb R^n$ est un $M_n(\mathbb R)$-module à gauche pour l'action

  $$
  A*v=Av.
  $$