Module sur un anneau

Définition intuitive

Un module sur un anneau est une construction similaire à un $\mathbb K$-espace vectoriel, où le corps $\mathbb K$ est remplacé par un anneau $A$.

Définition formelle

Soit $A$ un anneau unitaire. Un $A$-module (à gauche) est un groupe abélien $(M,+)$ muni d’une opération externe

$$*: A \times M \to M$$

vérifiant, pour tous $a,b \in A$ et $m,n \in M$ :

• $a*(m+n)=a*m+a*n$ ;
• $(a+b)*m=a*m+b*m$ ;
• $(ab)*m=a*(b*m)$ ;
• $1*m=m$.

Remarque.

La définition précédente concerne les $A$-modules à gauche, pour lesquels l’anneau agit à gauche:
$$A\times M\to M,\qquad (a,m)\mapsto am.$$

De manière analogue, un $A$-module à droite est un groupe abélien $(M,+)$ muni d’une opération externe
$$M\times A\to M,\qquad (m,a)\mapsto ma,$$vérifiant les propriétés analogues, notamment
$$(m*a)b=m(ab).$$

Lorsque $A$ n’est pas commutatif, la distinction entre modules à gauche et à droite est importante. En général, une structure de module à gauche ne définit pas naturellement une structure de module à droite.

On peut également munir $M$ en même temps d’une structure de $A$-module à gauche et d’une structure de $A$-module à droite si les deux actions sont compatibles, c’est-à-dire si
$$(am)b=a(mb)$$pour tous $a,b\in A$ et $m\in M$, on dit que $M$ est un $A$-bimodule (ou module bilatère).

Exemples

• Tout espace vectoriel sur un corps $\mathbb K$ est naturellement un $\mathbb K$-module, l’opération externe étant la multiplication par un scalaire.

• Tout anneau unitaire $A$ est un $A$-module à bilatère, avec pour action la multiplication dans $A$.

• Les $\mathbb Z$-modules sont exactement les groupes abéliens.

• $\mathbb C$ est un $\mathbb Z[i]$-module pour l’action définie par

  $$(a+ib)*z=(a+ib)z.$$

• $\mathbb R^n$ est un $M_n(\mathbb R)$-module à gauche pour l’action

  $$A*v=Av.$$