Sous module sur un anneau

Définition intuitive

Un sous-module d’un module est l’analogue, pour les modules, d’un sous-espace vectoriel pour les espaces vectoriels.

Définition formelle

Soit $A$ un anneau unitaire et $M$ un $A$-module (à gauche). Un sous-ensemble $N \subseteq M$ est un sous-module (à gauche) de $M$ si $N$ est un sous-groupe de $(M,+)$ et si

$$\forall a\in A,\ \forall n\in N,\qquad a*n\in N.$$

Exemples

• Si $V$ est un espace vectoriel sur un corps $\mathbb K$, les sous-modules de $V$ sont exactement ses sous-espaces vectoriels.

• Tout idéal à gauche $I$ d’un anneau unitaire $A$ est un sous-module à gauche de $A$, considéré comme $A$-module à gauche.

• Tout idéal à droite $I$ de $A$ est un sous-module à droite de $A$, lorsque $A$ est considéré comme $A$-module à droite.

• Si $A=\mathbb Z$, les sous-modules de $\mathbb Z$ sont exactement les idéaux de $\mathbb Z$, c’est-à-dire les sous-groupes de $\mathbb Z$ de la forme

  $$n\mathbb Z,\qquad n\in\mathbb N.$$