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##### Définition intuitive (si utile)

Un sous-module d'un [[Module sur un anneau|module]] est l'analogue, pour les modules, d'un [[Sous-espace vectoriel|sous-espace vectoriel]] pour les [[Espace vectoriel | espaces vectoriels]].

##### Définition formelle

Soit $A$ un [[Anneau|anneau]] unitaire et $M$ un $A$-module (à gauche). Un sous-ensemble $N \subseteq M$ est un sous-module (à gauche) de $M$ si $N$ est un sous-groupe de $(M,+)$ et si

$$
\forall a\in A,\ \forall n\in N,\qquad a*n\in N.
$$

##### Exemples

* Si $V$ est un espace vectoriel sur un corps $\mathbb K$, les sous-modules de $V$ sont exactement ses sous-espaces vectoriels.
* Tout [[Idéal|idéal]] à gauche $I$ d'un anneau unitaire $A$ est un sous-module à gauche de $A$, considéré comme $A$-module à gauche.
* Tout idéal à droite $I$ de $A$ est un sous-module à droite de $A$, lorsque $A$ est considéré comme $A$-module à droite.
* Si $A=\mathbb Z$, les sous-modules de $\mathbb Z$ sont exactement les idéaux de $\mathbb Z$, c'est-à-dire les sous-groupes de $\mathbb Z$ de la forme

  $$
  n\mathbb Z,\qquad n\in\mathbb N.
  $$