Nilpotent
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Revision 3426
9/1/2026, 3:07:32 PM · SalixBabylonica
Concept marked usable
statusStubUsable
Revision 3388
9/1/2026, 10:16:02 AM · Catalpa
Updated text
Compare with revision 33872 changed lines
1
Soit $(\mathcal{A},+,\cdot)$ un [[Ring|anneau]] et $a$ un élément de $\mathcal{A}$.2
3
On dit que $a$ est un nilpotent de $\mathcal{A}$ s'il existe un entier $n\in\N^*$ tel que $a^n=0$.4
Le plus petit tel entier $n$ est appelé _indice de nilpotence_ de $a$.5
6
**Exemples:**7
$\hookrightarrow$ La matrice $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$ est nilpotente d'indice $2$ dans l'anneau des matrices $\mathcal{M}_2(\R)$.8
$\hookrightarrow$ La présence d'un nilpotent est une mesure d'à quel point un anneau est loin d'être un corps. En particulier, tout corps ne possède que $0$ comme nilpotent. Ceci dit, il existe des anneaux ne possédant que $0$ comme nilpotent et qui ne sont pas des corps.8
$\hookrightarrow$ La présence d'un nilpotent est une mesure d'à quel point un anneau est loin d'être un [[Field|corps]]. En particulier, tout corps ne possède que $0$ comme nilpotent. Ceci dit, il existe des anneaux ne possédant que $0$ comme nilpotent et qui ne sont pas des corps.Revision 3387
9/1/2026, 10:15:34 AM · Catalpa
Updated title, language and text
titlenilpotentNilpotent
languageEnglishFrançais
Compare with revision 17962 changed lines
1
Soit $(\mathcal{A},+,\cdot)$ un anneau et $a$ un élément de $\mathcal{A}$.1
Soit $(\mathcal{A},+,\cdot)$ un [[Ring|anneau]] et $a$ un élément de $\mathcal{A}$.2
3
On dit que $a$ est un nilpotent de $\mathcal{A}$ s'il existe un entier $n\in\N^*$ tel que $a^n=0$.4
Le plus petit tel entier $n$ est appelé _indice de nilpotence_ de $a$.5
6
**Exemples:**7
$\hookrightarrow$ La matrice $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$ est nilpotente d'indice $2$ dans l'anneau des matrices $\mathcal{M}_2(\R)$.8
$\hookrightarrow$ La présence d'un nilpotent est une mesure d'à quel point un anneau est loin d'être un corps. En particulier, tout corps ne possède que $0$ comme nilpotent. Ceci dit, il existe des anneaux ne possédant que $0$ comme nilpotent et qui ne sont pas des corps.Revision 1796
8/20/2026, 5:09:57 PM · Sequoia
Updated text and linked exercises
linked exercisesNoneNilpotents de , Les nilpotents d’un corps
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1
## Intuitive definition1
Soit $(\mathcal{A},+,\cdot)$ un anneau et $a$ un élément de $\mathcal{A}$.2
3
To be completed.4
5
## Formal definition6
7
To be completed with LaTeX.8
9
## Examples3
On dit que $a$ est un nilpotent de $\mathcal{A}$ s'il existe un entier $n\in\N^*$ tel que $a^n=0$.4
Le plus petit tel entier $n$ est appelé _indice de nilpotence_ de $a$.10
11
- Example linked to [[polynomial]].6
**Exemples:**7
$\hookrightarrow$ La matrice $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$ est nilpotente d'indice $2$ dans l'anneau des matrices $\mathcal{M}_2(\R)$.8
$\hookrightarrow$ La présence d'un nilpotent est une mesure d'à quel point un anneau est loin d'être un corps. En particulier, tout corps ne possède que $0$ comme nilpotent. Ceci dit, il existe des anneaux ne possédant que $0$ comme nilpotent et qui ne sont pas des corps.Revision 1681
8/19/2026, 2:57:17 PM · Cypress
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Revision 1680
8/19/2026, 2:56:58 PM · Cypress
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No content or metadata changes were recorded.
Revision 1679
8/19/2026, 2:55:58 PM · Cypress
Concept created
## Intuitive definition To be completed. ## Formal definition To be completed with LaTeX. ## Examples - Example linked to [[polynomial]].