Nilpotent

Soit $(\mathcal{A},+,\cdot)$ un anneau et $a$ un élément de $\mathcal{A}$.

On dit que $a$ est un nilpotent de $\mathcal{A}$ s’il existe un entier $n\in\N^*$ tel que $a^n=0$.
Le plus petit tel entier $n$ est appelé indice de nilpotence de $a$.

Exemples:
$\hookrightarrow$ La matrice $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$ est nilpotente d’indice $2$ dans l’anneau des matrices $\mathcal{M}_2(\R)$.
$\hookrightarrow$ La présence d’un nilpotent est une mesure d’à quel point un anneau est loin d’être un corps. En particulier, tout corps ne possède que $0$ comme nilpotent. Ceci dit, il existe des anneaux ne possédant que $0$ comme nilpotent et qui ne sont pas des corps.