Les nilpotents d'un corps

Soit $(\mathbb{K},+,\cdot)$ un corps. Montrer que le seul nilpotent de $\mathbb{K}$ est $0$ .

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koadeg@koadeg

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Solution by Sequoia

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Soit $a$ un nilpotent, alors il existe $n\in\N^*$ tel que $a^n=0$ . Disons que $n$ est l’indice de nilpotence de $a$ .
Mais si $a\neq0$ , alors $a$ est inversible dans $\mathbb{K}$ . Ainsi on peut multiplier l’équation $a^n=0$ par $a^{-1}$ pour trouver $0=a^{-1}\cdot a^n=a^{n-1}$ . Donc $n-1$ est inférieur à l’indice de nilpotence de $a$ , qui est $n$ , ce qui est absurde.
Donc le seul nilpotent viable est $0$ .

Solution by koadeg

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Soit $a\in\mathbb{K}$ un nilpotent non-nul, ce qui implique un indice de nilpotence $n\geq 2$ (sinon $a$ serait lui-même nul).
Nous aurions donc $a\cdot a^{n-1} = 0$ alors que $a\neq 0$ et $a^{n-1}\neq 0$ . Nous avons donc trouvé des diviseurs non-nuls de zéro, ce qui est absurde car un corps est un anneau intégral dépourvu de diviseurs de zéro.

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