Les nilpotents d’un corps

Soit $a$ un nilpotent, alors il existe $n\in\N^*$ tel que $a^n=0$. Disons que $n$ est l’indice de nilpotence de $a$.
Mais si $a\neq0$, alors $a$ est inversible dans $\mathbb{K}$. Ainsi on peut multiplier l’équation $a^n=0$ par $a^{-1}$ pour trouver $0=a^{-1}\cdot a^n=a^{n-1}$. Donc $n-1$ est inférieur à l’indice de nilpotence de $a$, qui est $n$, ce qui est absurde.
Donc le seul nilpotent viable est $0$.

Soit $a\in\mathbb{K}$ un nilpotent non-nul, ce qui implique un indice de nilpotence $n\geq 2$ (sinon $a$ serait lui-même nul).
Nous aurions donc $a\cdot a^{n-1} = 0$ alors que $a\neq 0$ et $a^{n-1}\neq 0$. Nous avons donc trouvé des diviseurs non-nuls de zéro, ce qui est absurde car un corps est un anneau intégral dépourvu de diviseurs de zéro.