Les nilpotents d’un corps

Soit $a\in\mathbb{K}$ un nilpotent non-nul, ce qui implique un indice de nilpotence $n\geq 2$ (sinon $a$ serait lui-même nul).
Nous aurions donc $a\cdot a^{n-1} = 0$ alors que $a\neq 0$ et $a^{n-1}\neq 0$. Nous avons donc trouvé des diviseurs non-nuls de zéro, ce qui est absurde car un corps est un anneau intégral dépourvu de diviseurs de zéro.