Matrice nilpotente

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Une matrice nilpotente est une matrice carrée $A$ telle qu’il existe un entier $p\geq 0$ tel que
$A^{p}=0.$

Le plus petit entier $p$ vérifiant cette propriété s’appelle l’indice de nilpotence de $A$ .

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Montrer que les matrices $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 &0\end{pmatrix}$ ainsi que $\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ sont nilpotentes. Déterminer leur indice de nilpotence.

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