Ivan Shishkin, Rye (1878)

Inversibilité des matrices nilpotentes

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Soit $A$ une matrice nilpotente d'indice de nilpotence $p$ .

En montrant qu’il existe un vecteur $Y$ tel que $A^{p-1}Y\neq0$ . On note maintenant $X:=A^{p-1}Y$ .
Calculer $AX$ . En déduire que $A$ n’est pas inversible.

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Solution by beignet62

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On raisonne sur des endomorphismes. On note $u$ l'endomorphisme canoniquement associé à $A$ .

Si pour tout vecteur $x\in\mathbb{K}^n$ , on a
$u^{k-1}(x)=0,$ alors $u^{k-1}$ est l’endomorphisme nul, ce qui contredit la minimalité de $p$ , d’où l’existence d’un tel vecteur $y\neq 0$ .
On calcule
$AX = AA^{p-1}Y = A^pY = 0.$

Supposons $A$ inversible.

On a
$A0=0 \qquad\text{et}\qquad AX=0,$ donc

d’où

$X=0,$

ce qui est absurde.

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