Inversibilité des matrices nilpotentes

On raisonne sur des endomorphismes. On note $u$ l'endomorphisme canoniquement associé à $A$.

Si pour tout vecteur $x\in\mathbb{K}^n$, on a
$$u^{k-1}(x)=0,$$ alors $u^{k-1}$ est l’endomorphisme nul, ce qui contredit la minimalité de $p$, d’où l’existence d’un tel vecteur $y\neq 0$.

On calcule
$$AX = AA^{p-1}Y = A^pY = 0.$$

Supposons $A$ inversible.

On a
$$A0=0 \qquad\text{et}\qquad AX=0,$$ donc

d’où

$$X=0,$$

ce qui est absurde.