Idempotent ou nilpotent (pour aller plus loin)

Solution en vidéo : https://youtu.be/ZOEKtV6J_EM

1. Commençons par montrer que pour tout $a\in A$ nilpotent alors $a-1$ est inversible. Soit $a\in A$ nilpotent, alors il existe $n\in\mathbb{N}^*, a^n=0$ on a alors
   $$(a-1)(a^{n-1}+\dots+a+1)=a^n-1=-1$$Ainsi, $a-1$ est inversible.
   On remarque ensuite que $-1$ étant inversible, d’inverse lui-même, il ne peut être nilpotent. Il est alors idempotent, c’est à dire que $(-1)^2=-1$ ou encore $-1=1$ donc $2=0.$
   On attaque maintenant la preuve de la question. Soit $a$ nilpotent. Montrons que $a$ est idempotent. Puisque $a$ est nilpotent $a-1$ est idempotent donc
   $$(a-1)^2=a^2-2a+1=a-1\text{ donc }a^2=a-2a.$$

(remarquez que cette identité remarquable est correcte car $a$ et $1$ commutent toujours). Donc $a$ est idempotent.
2) Soient $a,b\in A.$ Puisque tout élément est idempotent $(a+b)^2=a+b$, i.e. $a^2+ab+ba+b^2=a+ab+ba+b=a+b$ donc $ab+ba=0$ donc $ab+2ba=ba$. On a donc bien $ab=ba.$
3) Montrons que $A$ possède une structure de $\mathbb{F}_2$-algèbre donnée par $0\cdot a=0_A$ et $1\cdot a=a.$ On note $K=\mathbb{F}_2.$ Il faut vérifier que

• $(A,+)$ est un groupe abélien (cela provient du fait que $(A,\times,+)$ est un anneau).
• $\forall \lambda,\mu\in\mathbb{F}_2, \forall a,b\in A,$
  • $\lambda\cdot (a+b)=\lambda \cdot a+\lambda \cdot b$
  • $(\lambda+\mu)\cdot a=\lambda\cdot a+\mu\cdot a$
  • $(\lambda\mu)\cdot a=\lambda\cdot(\mu \cdot a)$
  • $1\cdot a=a$ (vrai par hypothèse).
    Le premier point et le troisième sont triviaux en considérant les deux valeurs que peuvent prendre $\lambda$ et $\mu$. Le second est le seul intéressant. Il est clair si $\lambda=0$ ou $\mu=0$. Si $\lambda=\mu=1$ on a bien $(1_K+1_K)\cdot a=2_K\cdot a=0\cdot a=0_A$. Par ailleurs
    $$1_K\cdot a+1_K\cdot a=a+a=2_A\times a=0_A\times a=0_A.$$On a donc bien montré que $(A,+,\cdot)$ est un $K$-espace vectoriel. Pour montrer que $(A,\times,+,\cdot)$ est une $K$-algèbre il reste à justifier que l’opération binaire $\times$ est $K$-bilinéaire, c’est-à-dire que $\forall \lambda,\mu\in K,\forall a,b\in A$
    $$(\lambda\cdot a)\times(\mu\cdot b)=(\lambda \mu)\cdot a\times b$$

ce qui est une fois de plus élémentaire en discutant suivant les valeurs de $\lambda$ et $\mu.$
Puisque $A$ est fini, il est en particulier de dimension finie sur $K$. Il existe donc une base $(e_1,\dots,e_n)$ de $A$ ce qui nous permet d’obtenir un isomorphisme d’espaces vectoriels
$$\Phi\colon A\longrightarrow\mathbb{F}_2^n,\qquad \sum_{i=1}^n \lambda_i e_i\longmapsto(\lambda_i)_{1\leq i\leq n}.$$Malheureusement, l’isomorphisme $\Phi$ n’a aucune raison d’être un morphisme d’anneaux alors on va devoir affiner un peu notre raisonnement. On va montrer les deux résultats ci-dessous.

• Soit $a\in A$ alors l’idéal principal $(\left<a\right>,+,\times)$ est un anneau (attention ce n’est pas un sous-anneau de $(A,+,\times)$ car le neutre de $\left<a\right>$ est $a$).
• Soit $a\in A$ alors on a un isomorphisme d’algèbres
  $$A\simeq \left<a\right>\times \left<a+1\right>.$$

Ces deux affirmations nous permettront d’obtenir le résultat souhaité par récurrence forte. En effet, si $A$ ne possède que $0$ et $1$ alors $A$ est isomorphe à $\mathbb{F}_2$. Sinon, dans un anneau où tous les éléments sont idempotents le seul inversible est $1$ donc s’il existe $a\notin \left\{0,1\right\}$ alors $\left<a\right>\notin \left\{\left\{0\right\},A\right\}$.
Commençons par la première affirmation. Soit $a\in A.$ Il est clair que $\left<a\right>$ est un sous-groupe additif de $(A,+)$ par définition d’un idéal. Par ailleurs, $\times$ définit une loi de composition interne par définition d’un idéal et cette loi reste distributive sur $\times$ car elle l’est pour $(A,+,\times)$. Enfin, pour $x=ay\in\left<a\right>$ on a $ax=a^2y=ay=x$ donc $a$ est bien le neutre pour $\times.$
On vient de voir ci-dessus que pour tout $a\in A,\forall x\in\left<a\right>, ax=x$. Il est clair que réciproquement, si $ax=x$ alors $x\in\left<a\right>.$ On en déduit que l’application
$$\ell_a\colon A\longrightarrow A,\qquad x\longmapsto ax-x$$a pour noyau $\left<a\right>$ et, puisque $ax-x=x(a+1)$ son image est $\left<a+1\right>$. Par ailleurs, elle est linéaire et pour $x\in\ker(\ell_a)\cap\mathrm{im}(\ell_a)$, $x$ s’écrit $x=ay=(a+1)z$ donc $x=x^2=ay(a+1)z=(a^2+a)yz=2ayz=0.$ Donc, par le théorème du rang ils sont en somme directe et on a
$$(*) \colon A=\ker(\ell_a)\oplus \mathrm{im}(\ell_a)=\left<a\right>\oplus \left<a+1\right>.$$(on pourrait aussi remarquer que la décomposition $A=\left<a\right>+\left<a+1\right>$ est immédiate par l’écriture $x=2ax+x=ax+(a+1)x$). Puis, pour tout $x=ay+(a+1)z$ et $x'=ay'+(a+1)z'$ on a $xx'=a^2yy'+a(a+1)yz'+(a+1)azy'+(a+1)^2zz'=ayy'+(a+1)zz'.$ La somme directe $(*)$ fournit donc un isomorphisme d’algèbres $A\simeq \left<a\right>\times \left<a+1\right>$.