Norme plus fine qu’une autre
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Revision 7875
10/28/2026, 12:03:00 PM · SalixBabylonica
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##### Définition 2
Soient $\|\cdot\|_1$ et $\|\cdot\|_2$ deux [[normes]] sur un espace vectoriel $E$. 2
Soient $\|\cdot\|_1$ et $\|\cdot\|_2$ deux [[Norme | normes]] sur un espace vectoriel $E$. 3
On dit que la norme $\|\cdot\|_1$ est **plus fine** que la norme $\|\cdot\|_2$ lorsque la [[topologie induite]] par $\|\cdot\|_1$ est plus fine que celle induite par $\|\cdot\|_2$. 4
De manière équivalente,5
\[ \forall (x_n)_{n\in\mathbb N},\ \forall x\in E, \qquad x_n\xrightarrow[\|\cdot\|_1]{}x \Longrightarrow x_n\xrightarrow[\|\cdot\|_2]{}x. \]6
##### Proposition7
En pratique, on utilise d'avantage l'équivalence suivante :8
La norme $\|\cdot\|_1$ est plus fine que la norme $\|\cdot\|_2$ si et seulement s'il existe une constante $C>0$ telle que9
\[ \forall x\in E, \qquad \|x\|_2\le C\,\|x\|_1. \]Revision 7874
10/28/2026, 12:02:32 PM · SalixBabylonica
Concept created
##### Définition
Soient $\|\cdot\|_1$ et $\|\cdot\|_2$ deux [[normes]] sur un espace vectoriel $E$.
On dit que la norme $\|\cdot\|_1$ est **plus fine** que la norme $\|\cdot\|_2$ lorsque la [[topologie induite]] par $\|\cdot\|_1$ est plus fine que celle induite par $\|\cdot\|_2$.
De manière équivalente,
\[ \forall (x_n)_{n\in\mathbb N},\ \forall x\in E, \qquad x_n\xrightarrow[\|\cdot\|_1]{}x \Longrightarrow x_n\xrightarrow[\|\cdot\|_2]{}x. \]
##### Proposition
En pratique, on utilise d'avantage l'équivalence suivante :
La norme $\|\cdot\|_1$ est plus fine que la norme $\|\cdot\|_2$ si et seulement s'il existe une constante $C>0$ telle que
\[ \forall x\in E, \qquad \|x\|_2\le C\,\|x\|_1. \]