Norme plus fine qu’une autre

Définition

Soient $\|\cdot\|_1$ et $\|\cdot\|_2$ deux normes sur un espace vectoriel $E$.
On dit que la norme $\|\cdot\|_1$ est plus fine que la norme $\|\cdot\|_2$ lorsque la topologie induite par $\|\cdot\|_1$ est plus fine que celle induite par $\|\cdot\|_2$.
De manière équivalente,
$$\forall (x_n)_{n\in\mathbb N},\ \forall x\in E, \qquad x_n\xrightarrow[\|\cdot\|_1]{}x \Longrightarrow x_n\xrightarrow[\|\cdot\|_2]{}x.$$

Proposition

En pratique, on utilise d’avantage l’équivalence suivante :
La norme $\|\cdot\|_1$ est plus fine que la norme $\|\cdot\|_2$ si et seulement s’il existe une constante $C>0$ telle que
$$\forall x\in E, \qquad \|x\|_2\le C\,\|x\|_1.$$