Ivan Shishkin, Birch Grove

Normes équivalentes

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Revision 7951

10/31/2026, 11:50:51 AM · SalixBabylonica

Added exercise "Phénomène des bornes glissantes"

linked exercisesEquivalence des 33 normes usuelles sur Rn\mathbb{R}^nEquivalence des 33 normes usuelles sur Rn\mathbb{R}^n, Phénomène des bornes glissantes

Revision 7923

10/30/2026, 1:30:05 PM · darktoaster

lien concept norme plus fine qu'une autre

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1##### Définition
2Soient $\|\cdot\|_1$ et $\|\cdot\|_2$ deux normes sur un espace vectoriel $E$.
3On dit que les normes $\|\cdot\|_1$ et $\|\cdot\|_2$ sont équivalentes lorsque chacune est plus fine que l'autre.
3On dit que les normes $\|\cdot\|_1$ et $\|\cdot\|_2$ sont équivalentes lorsque chacune est [[norme-plus-fine-quune-autre|plus fine que l'autre]].
4De manière équivalente,
5\[ \forall (x_n)_{n\in\mathbb N},\ \forall x\in E, \qquad x_n\xrightarrow[\|\cdot\|_1]{}x \iff x_n\xrightarrow[\|\cdot\|_2]{}x. \]
6##### Proposition
7En pratique, on utilise d'avantange l'équivalence suivante :
8Les normes $\|\cdot\|_1$ et $\|\cdot\|_2$ sont équivalentes si et seulement s'il existe deux constantes $c,C>0$ telles que
9\[ \forall x\in E, \qquad c\,\|x\|_1 \le \|x\|_2 \le C\,\|x\|_1. \]
10##### Remarques
11- Deux normes équivalentes induisent la même [[topologie]].
12- Deux normes équivalentes définissent les mêmes suites convergentes, les mêmes parties ouvertes et les mêmes parties fermées.
13- En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.

Revision 7918

10/30/2026, 12:55:46 PM · SalixBabylonica

Added exercise "Equivalence des $3$ normes usuelles sur $\mathbb{R}^n$"

linked exercisesNoneEquivalence des 33 normes usuelles sur Rn\mathbb{R}^n

Revision 7916

10/30/2026, 12:42:16 PM · SalixBabylonica

Concept created

##### Définition 
Soient $\|\cdot\|_1$ et $\|\cdot\|_2$ deux normes sur un espace vectoriel $E$. 
On dit que les normes $\|\cdot\|_1$ et $\|\cdot\|_2$ sont équivalentes lorsque chacune est plus fine que l'autre. 
De manière équivalente,
\[ \forall (x_n)_{n\in\mathbb N},\ \forall x\in E, \qquad x_n\xrightarrow[\|\cdot\|_1]{}x \iff x_n\xrightarrow[\|\cdot\|_2]{}x. \]
##### Proposition 
En pratique, on utilise d'avantange l'équivalence suivante :
Les normes $\|\cdot\|_1$ et $\|\cdot\|_2$ sont équivalentes si et seulement s'il existe deux constantes $c,C>0$ telles que
\[ \forall x\in E, \qquad c\,\|x\|_1 \le \|x\|_2 \le C\,\|x\|_1. \]
##### Remarques 
- Deux normes équivalentes induisent la même [[topologie]].
- Deux normes équivalentes définissent les mêmes suites convergentes, les mêmes parties ouvertes et les mêmes parties fermées.
- En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.