Normes équivalentes

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Définition

Soient $\|\cdot\|_1$ et $\|\cdot\|_2$ deux normes sur un espace vectoriel $E$ .
On dit que les normes $\|\cdot\|_1$ et $\|\cdot\|_2$ sont équivalentes lorsque chacune est plus fine que l’autre.
De manière équivalente,
$\forall (x_n)_{n\in\mathbb N},\ \forall x\in E, \qquad x_n\xrightarrow[\|\cdot\|_1]{}x \iff x_n\xrightarrow[\|\cdot\|_2]{}x.$

Proposition

En pratique, on utilise d’avantange l’équivalence suivante :
Les normes $\|\cdot\|_1$ et $\|\cdot\|_2$ sont équivalentes si et seulement s’il existe deux constantes $c,C>0$ telles que
$\forall x\in E, \qquad c\,\|x\|_1 \le \|x\|_2 \le C\,\|x\|_1.$

Remarques

Deux normes équivalentes induisent la même topologie.
Deux normes équivalentes définissent les mêmes suites convergentes, les mêmes parties ouvertes et les mêmes parties fermées.
En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.

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1 / 2

On note $E=C(0,1).$
1. Pour toute fonction $f\in E$ , on pose
  $\|f\|_1=\int_0^1 |f(t)|\,dt.$ Montrer que $\|\cdot\|_1$ est une norme sur $E$ .
2. Montrer que les normes $\|\cdot\|_1$ et $\|\cdot\|_\infty$ ne sont pas équivalentes.
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