Phénomène des bornes glissantes

1. Montrons que $\|\cdot\|_1$ définit une norme sur $E$.

• Soit $f\in E$. On a naturellement
  $$\|f\|_1 = \int_0^1 |f(t)|\,dt \geq 0.$$
• Soit $\lambda\in\mathbb R$ et $f\in E$. Alors
  $$\|\lambda f\|_1 = \int_0^1 |\lambda f(t)|\,dt = |\lambda| \int_0^1 |f(t)|\,dt = |\lambda|\,\|f\|_1.$$
• Soient $f,g\in E$. Pour tout $t\in[0,1]$,
  $$|f(t)+g(t)| \leq |f(t)|+|g(t)|.$$En intégrant,
  $$\int_0^1 |f(t)+g(t)|\,dt \leq \int_0^1 |f(t)|\,dt + \int_0^1 |g(t)|\,dt.$$Ainsi,
  $$\|f+g\|_1 \leq \|f\|_1+\|g\|_1.$$
• Enfin, soit $f\in E$ telle que
  $$\|f\|_1=0.$$On a alors
  $$\int_0^1 |f(t)|\,dt=0.$$Comme la fonction $|f|$ est continue et positive, elle est identiquement nulle sur $[0,1]$.
  Donc
  $$\forall t\in[0,1], \qquad |f(t)|=0,$$c’est-à-dire
  $$f=0.$$Réciproquement,
  $$f=0 \Longrightarrow \|f\|_1=0.$$

Ainsi, $\|\cdot\|_1$ est bien une norme sur $E$.

2. Montrons que $\|\cdot\|_1$ et $\|\cdot\|_\infty$ ne sont pas équivalentes. Considérons la suite $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ définie par
   $$f_n(x)= \left\{ \begin{array}{ll} nx & \text{si } 0\leq x\leq \dfrac1n,\\[0.4em] 2-nx & \text{si } \dfrac1n\leq x\leq \dfrac2n,\\[0.4em] 0 & \text{si } x\geq \dfrac2n. \end{array} \right.$$Chaque $f_n$ est continue sur $[0,1]$ et son graphe est un triangle de base $\dfrac2n$ et de hauteur $1$.

On a
$$\|f_n\|_\infty=1.$$

Par ailleurs,
$$\|f_n\|_1 = \int_0^1 |f_n(t)|\,dt.$$Cette intégrale est l’aire du triangle associé à $f_n$ :
$$\|f_n\|_1 = \frac12\times\frac2n\times 1 = \frac1n.$$Ainsi,
$$\|f_n\|_1=\frac1n \longrightarrow 0.$$On en déduit que
$$f_n \xrightarrow[\|\cdot\|_1]{} 0.$$En revanche,
$$\|f_n-0\|_\infty = \|f_n\|_\infty = 1,$$donc
$$f_n \not\xrightarrow[\|\cdot\|_\infty]{} 0.$$Si les normes $\|\cdot\|_1$ et $\|\cdot\|_\infty$ étaient équivalentes, elles définiraient les mêmes suites convergentes. Or ce n’est pas le cas.

Par conséquent, $\|\cdot\|_1$ et $\|\cdot\|_\infty$ ne sont pas équivalentes sur $C([0,1]).$
En particulier, $\|\cdot\|_1$ n’est pas plus fine que $\|\cdot\|_\infty.$

Remarque

Remarquons toutefois que, pour toute fonction $f\in E$,
$$\|f\|_1 = \int_0^1 |f(t)|\,dt \leq \int_0^1 \|f\|_\infty\,dt = \|f\|_\infty.$$Ainsi,
$$\|f\|_1\leq \|f\|_\infty,$$ce qui montre que la norme $\|\cdot\|_\infty$ est plus fine que la norme $\|\cdot\|_1$.