Ivan Shishkin, Birch Grove

Polynôme caractéristique

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Revision 2991

8/30/2026, 5:33:24 PM · SalixBabylonica

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1Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ une [[Matrice carrée|matrice carrée]].
2Le polynôme caractéristique de $A$ est le polynôme
3
4
5\[
6\chi_A(X)
7=
8\det(X I_n - A) = (-1)^{n}\det(A-X I_{n}),
9\]
10
11
12où $I_n$ désigne la [[Matrice Identité|matrice identité de taille $n$]].
13
14Le polynôme caractéristique est utilisé pour déterminer les [[valeur propre d'une matrice|valeurs propres]] d'une matrice.
15
16Exemple:
17Considérons la matrice
18\[
19A =
20\begin{pmatrix}
211 & 2 \\
223 & 4
23\end{pmatrix}.
24\]
25
26
27Par définition, le polynôme caractéristique est donné par
28
29
30\[
31\chi_A(X) = \det(X I_2 - A).
32\]
33
34
35
36Commençons par former la matrice $X I_2 - A$ :
37
38
39\[
40X I_2 - A
41=
42\begin{pmatrix}
43X - 1 & -2 \\
44-3 & X - 4
45\end{pmatrix}.
46\]
47
48
49
50Le [[déterminant|déterminant]] de cette matrice s’écrit alors
51
52
53\[
54\chi_A(X)
55= (X - 1)(X - 4) - (-2)(-3)
56= X^2 - 5X + 4 - 6
57= X^2 - 5X - 2.
58\]

Revision 2988

8/30/2026, 5:32:08 PM · SalixBabylonica

Added exercise "Polynome caractéristique d'une simple matrice"

linked exercisesNonePolynome caractéristique d’une simple matrice

Revision 2726

8/29/2026, 5:17:17 PM · SalixBabylonica

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Compare with revision 27172 changed lines
1Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ une [[Matrice carrée|matrice carrée]].
2Le polynôme caractéristique de $A$ est le polynôme
3
4
5\[
6\chi_A(X)
7=
8\det(X I_n - A) = (-1)^{n}\det(A-X I_{n}),
9\]
10
11
12où $I_n$ désigne la matrice identité de taille $n$.
12où $I_n$ désigne la [[Matrice Identité|matrice identité de taille $n$]].
13
14Le polynôme caractéristique est utilisé pour déterminer les [[valeur propre d'une matrice|valeurs propres]] d'une matrice.
15
16Exemple:
17Considérons la matrice
18\[
19A =
20\begin{pmatrix}
211 & 2 \\
223 & 4
23\end{pmatrix}.
24\]
25
26
27Par définition, le polynôme caractéristique est donné par
28
29
30\[
31\chi_A(X) = \det(X I_2 - A).
32\]
33
34
35
36Commençons par former la matrice $X I_2 - A$ :
37
38
39\[
40X I_2 - A
41=
42\begin{pmatrix}
43X - 1 & -2 \\
44-3 & X - 4
45\end{pmatrix}.
46\]
47
48
49
50Le [[déterminant|déterminant]] de cette matrice s’écrit alors
51
52
53\[
54\chi_A(X)
55= (X - 1)(X - 4) - (-2)(-3)
56= X^2 - 5X + 4 - 6
57= X^2 - 5X - 2.
58\]

Revision 2717

8/29/2026, 4:59:01 PM · SalixBabylonica

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Compare with revision 27162 changed lines
1Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ une matrice carrée.
1Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ une [[Matrice carrée|matrice carrée]].
2Le polynôme caractéristique de $A$ est le polynôme
3
4
5\[
6\chi_A(X)
7=
8\det(X I_n - A) = (-1)^{n}\det(A-X I_{n}),
9\]
10
11
12où $I_n$ désigne la matrice identité de taille $n$.
13
14Le polynôme caractéristique est utilisé pour déterminer les [[valeur propre d'une matrice|valeurs propres]] d'une matrice.
15
16Exemple:
17Considérons la matrice
18\[
19A =
20\begin{pmatrix}
211 & 2 \\
223 & 4
23\end{pmatrix}.
24\]
25
26
27Par définition, le polynôme caractéristique est donné par
28
29
30\[
31\chi_A(X) = \det(X I_2 - A).
32\]
33
34
35
36Commençons par former la matrice $X I_2 - A$ :
37
38
39\[
40X I_2 - A
41=
42\begin{pmatrix}
43X - 1 & -2 \\
44-3 & X - 4
45\end{pmatrix}.
46\]
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48
49
50Le [[déterminant|déterminant]] de cette matrice s’écrit alors
51
52
53\[
54\chi_A(X)
55= (X - 1)(X - 4) - (-2)(-3)
56= X^2 - 5X + 4 - 6
57= X^2 - 5X - 2.
58\]

Revision 2716

8/29/2026, 4:58:14 PM · SalixBabylonica

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Compare with revision 27154 changed lines
1Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ une matrice carrée.
2Le polynôme caractéristique de $A$ est le polynôme
3
4
5\[
6\chi_A(X)
7=
8\det(X I_n - A) = (-1)^{n}\det(A-X I_{n}),
9\]
10
11
12où $I_n$ désigne la matrice identité de taille $n$.
13
14Le polynôme caractéristique est utilisé pour déterminer les [[valeurs propres d'une matrice|valeurs propres]] d'une matrice.
14Le polynôme caractéristique est utilisé pour déterminer les [[valeur propre d'une matrice|valeurs propres]] d'une matrice.
15
16Exemple:
17Considérons la matrice
18\[
19A =
20\begin{pmatrix}
211 & 2 \\
223 & 4
23\end{pmatrix}.
24\]
25
26
27Par définition, le polynôme caractéristique est donné par
28
29
30\[
31\chi_A(X) = \det(X I_2 - A).
32\]
33
34
35
36Commençons par former la matrice $X I_2 - A$ :
37
38
39\[
40X I_2 - A
41=
42\begin{pmatrix}
43X - 1 & -2 \\
44-3 & X - 4
45\end{pmatrix}.
46\]
47
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50Le [[déterminant]] de cette matrice s’écrit alors
50Le [[déterminant|déterminant]] de cette matrice s’écrit alors
51
52
53\[
54\chi_A(X)
55= (X - 1)(X - 4) - (-2)(-3)
56= X^2 - 5X + 4 - 6
57= X^2 - 5X - 2.
58\]

Revision 2715

8/29/2026, 4:56:33 PM · SalixBabylonica

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Compare with revision 27112 changed lines
1Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ une matrice carrée.
2Le polynôme caractéristique de $A$ est le polynôme
3
4
5\[
6\chi_A(X)
7=
8\det(X I_n - A) = (-1)^{n}\det(A-X I_{n}),
9\]
10
11
12où $I_n$ désigne la matrice identité de taille $n$.
13
14Le polynôme caractéristique est utilisé pour déterminer les [[valeurs propres]] d'une matrice.
14Le polynôme caractéristique est utilisé pour déterminer les [[valeurs propres d'une matrice|valeurs propres]] d'une matrice.
15
16Exemple:
17Considérons la matrice
18\[
19A =
20\begin{pmatrix}
211 & 2 \\
223 & 4
23\end{pmatrix}.
24\]
25
26
27Par définition, le polynôme caractéristique est donné par
28
29
30\[
31\chi_A(X) = \det(X I_2 - A).
32\]
33
34
35
36Commençons par former la matrice $X I_2 - A$ :
37
38
39\[
40X I_2 - A
41=
42\begin{pmatrix}
43X - 1 & -2 \\
44-3 & X - 4
45\end{pmatrix}.
46\]
47
48
49
50Le [[déterminant]] de cette matrice s’écrit alors
51
52
53\[
54\chi_A(X)
55= (X - 1)(X - 4) - (-2)(-3)
56= X^2 - 5X + 4 - 6
57= X^2 - 5X - 2.
58\]

Revision 2711

8/29/2026, 4:55:13 PM · SalixBabylonica

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Compare with revision 27102 changed lines
1Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ une matrice carrée.
2Le polynôme caractéristique de $A$ est le polynôme
3
4
5\[
6\chi_A(X)
7=
8\det(X I_n - A) = (-1)^{n}\det(A-X I_{n}),
9\]
10
11
12où $I_n$ désigne la matrice identité de taille $n$.
13
14Le polynôme caractéristique est utilisé pour déterminer les [[valeurs|propres]] d'une matrice.
14Le polynôme caractéristique est utilisé pour déterminer les [[valeurs propres]] d'une matrice.
15
16Exemple:
17Considérons la matrice
18\[
19A =
20\begin{pmatrix}
211 & 2 \\
223 & 4
23\end{pmatrix}.
24\]
25
26
27Par définition, le polynôme caractéristique est donné par
28
29
30\[
31\chi_A(X) = \det(X I_2 - A).
32\]
33
34
35
36Commençons par former la matrice $X I_2 - A$ :
37
38
39\[
40X I_2 - A
41=
42\begin{pmatrix}
43X - 1 & -2 \\
44-3 & X - 4
45\end{pmatrix}.
46\]
47
48
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50Le [[déterminant]] de cette matrice s’écrit alors
51
52
53\[
54\chi_A(X)
55= (X - 1)(X - 4) - (-2)(-3)
56= X^2 - 5X + 4 - 6
57= X^2 - 5X - 2.
58\]

Revision 2710

8/29/2026, 4:54:57 PM · SalixBabylonica

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Compare with revision 27092 changed lines
1Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ une matrice carrée.
2Le polynôme caractéristique de $A$ est le polynôme
3
4
5\[
6\chi_A(X)
7=
8\det(X I_n - A) = (-1)^{n}\det(A-X I_{n}),
9\]
10
11
12où $I_n$ désigne la matrice identité de taille $n$.
13
14Le polynôme caractéristique est utilisé pour déterminer les [[valeurs propres]] d'une matrice.
14Le polynôme caractéristique est utilisé pour déterminer les [[valeurs|propres]] d'une matrice.
15
16Exemple:
17Considérons la matrice
18\[
19A =
20\begin{pmatrix}
211 & 2 \\
223 & 4
23\end{pmatrix}.
24\]
25
26
27Par définition, le polynôme caractéristique est donné par
28
29
30\[
31\chi_A(X) = \det(X I_2 - A).
32\]
33
34
35
36Commençons par former la matrice $X I_2 - A$ :
37
38
39\[
40X I_2 - A
41=
42\begin{pmatrix}
43X - 1 & -2 \\
44-3 & X - 4
45\end{pmatrix}.
46\]
47
48
49
50Le [[déterminant]] de cette matrice s’écrit alors
51
52
53\[
54\chi_A(X)
55= (X - 1)(X - 4) - (-2)(-3)
56= X^2 - 5X + 4 - 6
57= X^2 - 5X - 2.
58\]

Revision 2709

8/29/2026, 4:54:32 PM · SalixBabylonica

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Compare with revision 26904 changed lines
1Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ une matrice carrée.
2Le polynôme caractéristique de $A$ est le polynôme
3
4
5\[
6\chi_A(X)
7=
8\det(X I_n - A) = (-1)^{n}\det(A-X I_{n}),
9\]
10
11
12où $I_n$ désigne la matrice identité de taille $n$.
13
14Le polynôme caractéristique est utilisé pour déterminer les valeurs propres d'une matrice.
14Le polynôme caractéristique est utilisé pour déterminer les [[valeurs propres]] d'une matrice.
15
16Exemple:
17Considérons la matrice
18\[
19A =
20\begin{pmatrix}
211 & 2 \\
223 & 4
23\end{pmatrix}.
24\]
25
26
27Par définition, le polynôme caractéristique est donné par
28
29
30\[
31\chi_A(X) = \det(X I_2 - A).
32\]
33
34
35
36Commençons par former la matrice $X I_2 - A$ :
37
38
39\[
40X I_2 - A
41=
42\begin{pmatrix}
43X - 1 & -2 \\
44-3 & X - 4
45\end{pmatrix}.
46\]
47
48
49
50Le déterminant de cette matrice s’écrit alors
50Le [[déterminant]] de cette matrice s’écrit alors
51
52
53\[
54\chi_A(X)
55= (X - 1)(X - 4) - (-2)(-3)
56= X^2 - 5X + 4 - 6
57= X^2 - 5X - 2.
58\]

Revision 2690

8/29/2026, 4:43:24 PM · SalixBabylonica

Updated text

Compare with revision 26872 changed lines
1Soit $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ une matrice carrée.
1Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ une matrice carrée.
2Le polynôme caractéristique de $A$ est le polynôme
3
4
5\[
6\chi_A(X)
7=
8\det(X I_n - A) = (-1)^{n}\det(A-X I_{n}),
9\]
10
11
12où $I_n$ désigne la matrice identité de taille $n$.
13
14Le polynôme caractéristique est utilisé pour déterminer les valeurs propres d'une matrice.
15
16Exemple:
17Considérons la matrice
18\[
19A =
20\begin{pmatrix}
211 & 2 \\
223 & 4
23\end{pmatrix}.
24\]
25
26
27Par définition, le polynôme caractéristique est donné par
28
29
30\[
31\chi_A(X) = \det(X I_2 - A).
32\]
33
34
35
36Commençons par former la matrice $X I_2 - A$ :
37
38
39\[
40X I_2 - A
41=
42\begin{pmatrix}
43X - 1 & -2 \\
44-3 & X - 4
45\end{pmatrix}.
46\]
47
48
49
50Le déterminant de cette matrice s’écrit alors
51
52
53\[
54\chi_A(X)
55= (X - 1)(X - 4) - (-2)(-3)
56= X^2 - 5X + 4 - 6
57= X^2 - 5X - 2.
58\]

Revision 2687

8/29/2026, 4:38:25 PM · SalixBabylonica

Updated title

titlepolynôme caractéristiquePolynôme caractéristique

Revision 2686

8/29/2026, 4:37:47 PM · SalixBabylonica

Updated text

Compare with revision 26841 changed line
1Soit $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ une matrice carrée.
2Le polynôme caractéristique de $A$ est le polynôme
3
4
5\[
6\chi_A(X)
7=
8\det(X I_n - A) = (-1)^{n}\det(A-X I_{n}),
9\]
10
11
12où $I_n$ désigne la matrice identité de taille $n$.
13
14Le polynôme caractéristique est utilisé pour déterminer les valeurs propres d'une matrice.
14
15Exemple:
16Considérons la matrice
17\[
18A =
19\begin{pmatrix}
201 & 2 \\
213 & 4
22\end{pmatrix}.
23\]
24
25
26Par définition, le polynôme caractéristique est donné par
27
28
29\[
30\chi_A(X) = \det(X I_2 - A).
31\]
32
33
34
35Commençons par former la matrice $X I_2 - A$ :
36
37
38\[
39X I_2 - A
40=
41\begin{pmatrix}
42X - 1 & -2 \\
43-3 & X - 4
44\end{pmatrix}.
45\]
46
47
48
49Le déterminant de cette matrice s’écrit alors
50
51
52\[
53\chi_A(X)
54= (X - 1)(X - 4) - (-2)(-3)
55= X^2 - 5X + 4 - 6
56= X^2 - 5X - 2.
57\]

Revision 2684

8/29/2026, 4:34:38 PM · SalixBabylonica

Updated text

Compare with revision 268147 changed lines
1Soit $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ une matrice carrée.
2Le polynôme caractéristique de $A$ est le polynôme
2Le polynôme caractéristique de $A$ est le polynôme
3
4
5\[
6\chi_A(X)
7=
8\det(X I_n - A) = (-1)^{n}\det(A-X I_{n}),
9\]
10
11
12où $I_n$ désigne la matrice identité de taille $n$.
13
14
15Exemple:
16Considérons la matrice
17\[
18A =
19\begin{pmatrix}
201 & 2 \\
213 & 4
22\end{pmatrix}.
23\]
24
25
26Par définition, le polynôme caractéristique est donné par
27
28
29\[
30\chi_A(X) = \det(X I_2 - A).
31\]
32
33
34
35Commençons par former la matrice $X I_2 - A$ :
36
37
38\[
39X I_2 - A
40=
41\begin{pmatrix}
42X - 1 & -2 \\
43-3 & X - 4
44\end{pmatrix}.
45\]
46
47
48
49Le déterminant de cette matrice s’écrit alors
50
51
52\[
53\chi_A(X)
54= (X - 1)(X - 4) - (-2)(-3)
55= X^2 - 5X + 4 - 6
56= X^2 - 5X - 2.
57\]

Revision 2681

8/29/2026, 4:23:35 PM · SalixBabylonica

Updated domain

domainAlgebraic geometryLinear algebra

Revision 2680

8/29/2026, 4:22:31 PM · SalixBabylonica

Concept created

Soit $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ une matrice carrée.  
Le polynôme caractéristique de $A$ est le polynôme


\[
\chi_A(X)
=
\det(X I_n - A) = (-1)^{n}\det(A-X I_{n}),
\]


où $I_n$ désigne la matrice identité de taille $n$.