Ivan Shishkin, Birch Grove

Probabilité

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Revision 7851

10/27/2026, 12:21:49 PM · SalixBabylonica

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1##### Définition
2Soit $(\Omega,\mathcal T)$ un [[espace probabilisable]]. On appelle **probabilité** sur $\Omega$ toute application
3\[ P:\mathcal T\longrightarrow \mathbb R \]
4vérifiant :
5- $\forall A\in\mathcal T, \qquad P(A)\in[0,1],$
6- $P(\varnothing)=0 \qquad\text{et}\qquad P(\Omega)=1,$
7- **la propriété de $\sigma$-additivité** : si $(A_i)_{i\in I}$ est une famille au plus dénombrable d'événements deux à deux disjoints, alors
8\[ P\!\left(\bigcup_{i\in I} A_i\right) = \sum_{i\in I} P(A_i). \]
9##### Remarques
8##### Remarques
9- Comme $P(\varnothing)=0$ et $P(\Omega)=1$, alors on a
10\[\forall A\in\mathcal T, \qquad P(A)\in[0,1],\]
10- Une probabilité est un cas particulier de [[mesure]]. En effet, l'application
11\[ P:\mathcal T\to\mathbb R \]
12est une probabilité lorsque elle est une mesure vérifiant la condition supplémentaire
13\[ P(\Omega)=1. \]
14- De nombreux résultats de théorie de la mesure s'appliquent donc directement aux probabilités (lemme de Fatou, théorèmes de convergence monotone et dominée, etc.).

Revision 7850

10/27/2026, 11:57:49 AM · SalixBabylonica

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1##### Définition
2Soit $(\Omega,\mathcal T)$ un espace probabilisable. On appelle **probabilité** sur $\Omega$ toute application
2Soit $(\Omega,\mathcal T)$ un [[espace probabilisable]]. On appelle **probabilité** sur $\Omega$ toute application
3\[ P:\mathcal T\longrightarrow \mathbb R \]
4vérifiant :
5- $\forall A\in\mathcal T, \qquad P(A)\in[0,1],$
6- $P(\varnothing)=0 \qquad\text{et}\qquad P(\Omega)=1,$
7- **la propriété de $\sigma$-additivité** : si $(A_i)_{i\in I}$ est une famille au plus dénombrable d'événements deux à deux disjoints, alors
8\[ P\!\left(\bigcup_{i\in I} A_i\right) = \sum_{i\in I} P(A_i). \]
9##### Remarques
10- Une probabilité est un cas particulier de [[mesure]]. En effet, l'application
11\[ P:\mathcal T\to\mathbb R \]
12est une probabilité lorsque elle est une mesure vérifiant la condition supplémentaire
13\[ P(\Omega)=1. \]
14- De nombreux résultats de théorie de la mesure s'appliquent donc directement aux probabilités (lemme de Fatou, théorèmes de convergence monotone et dominée, etc.).

Revision 7849

10/27/2026, 11:57:19 AM · SalixBabylonica

Concept created

##### Définition 
Soit $(\Omega,\mathcal T)$ un espace probabilisable. On appelle **probabilité** sur $\Omega$ toute application
\[ P:\mathcal T\longrightarrow \mathbb R \]
vérifiant :
- $\forall A\in\mathcal T, \qquad P(A)\in[0,1],$
- $P(\varnothing)=0 \qquad\text{et}\qquad P(\Omega)=1,$
- **la propriété de $\sigma$-additivité** : si $(A_i)_{i\in I}$ est une famille au plus dénombrable d'événements deux à deux disjoints, alors
\[ P\!\left(\bigcup_{i\in I} A_i\right) = \sum_{i\in I} P(A_i). \]
##### Remarques 
- Une probabilité est un cas particulier de [[mesure]]. En effet, l'application
\[ P:\mathcal T\to\mathbb R \]
est une probabilité lorsque elle est une mesure vérifiant la condition supplémentaire
\[ P(\Omega)=1. \]
- De nombreux résultats de théorie de la mesure s'appliquent donc directement aux probabilités (lemme de Fatou, théorèmes de convergence monotone et dominée, etc.).