Probabilité

Définition

Soit $(\Omega,\mathcal T)$ un espace probabilisable. On appelle probabilité sur $\Omega$ toute application
$$P:\mathcal T\longrightarrow \mathbb R$$vérifiant :

• $P(\varnothing)=0 \qquad\text{et}\qquad P(\Omega)=1,$
• la propriété de $\sigma$-additivité : si $(A_i)_{i\in I}$ est une famille au plus dénombrable d’événements deux à deux disjoints, alors
  $$P\!\left(\bigcup_{i\in I} A_i\right) = \sum_{i\in I} P(A_i).$$

Remarques

• Comme $P(\varnothing)=0$ et $P(\Omega)=1$, alors on a
  $$\forall A\in\mathcal T, \qquad P(A)\in[0,1],$$
• Une probabilité est un cas particulier de mesure. En effet, l’application
  $$P:\mathcal T\to\mathbb R$$est une probabilité lorsque elle est une mesure vérifiant la condition supplémentaire
  $$P(\Omega)=1.$$
• De nombreux résultats de théorie de la mesure s’appliquent donc directement aux probabilités (lemme de Fatou, théorèmes de convergence monotone et dominée, etc.).