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Added exercise "Norme à partir d'un produit scalaire"

Emploi de ⩾ (usage français) au lieu de ≥

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##### Définition formelle
- Cas réel :
Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel et
\[ \varphi : E \times E \longrightarrow \mathbb{R} \]
une application. On dit que $\varphi$ est un produit scalaire sur $E$ lorsque :
1) $\varphi$ est symétrique, c'est-à-dire
\[ \forall x,y \in E,\qquad \varphi(x,y)=\varphi(y,x). \]
2) $\varphi$ est bilinéaire, c'est-à-dire
\[ \forall x,x',y,y'\in E,\ \forall \lambda\in\mathbb{R}, \]
\[ \varphi(\lambda x+x',y) = \lambda \varphi(x,y)+\varphi(x',y), \]
\[ \varphi(x,\lambda y+y') = \lambda \varphi(x,y)+\varphi(x,y'). \]
3) $\varphi$ est définie positive, c'est-à-dire
\[ \forall x\in E,\qquad \varphi(x,x)\geq 0 \]
et
\[ \varphi(x,x)=0 \iff x=0. \]

- Cas complexe :
Soit $E$ un $\mathbb{C}$-espace vectoriel et
\[ \varphi : E \times E \longrightarrow \mathbb{C} \]
une application. On dit que $\varphi$ est un produit scalaire sur $E$ lorsque :
1) $\varphi$ est hermitienne, c'est-à-dire
\[ \forall x,y \in E,\qquad \varphi(x,y)=\overline{\varphi(y,x)}. \]
2) $\varphi$ est sesquilinéaire, c'est-à-dire
\[ \forall x,x',y,y'\in E,\ \forall \lambda\in\mathbb{C}, \]
\[ \varphi(\lambda x+x',y) = \lambda \varphi(x,y)+\varphi(x',y), \]
\[ \varphi(x,\lambda y+y') = \overline{\lambda}\varphi(x,y)+\varphi(x,y'). \]
3) $\varphi$ est définie positive, c'est-à-dire
\[ \forall x\in E,\qquad \varphi(x,x)\geq 0 \]
et
\[ \varphi(x,x)=0 \iff x=0. \]

**Notation :** on note souvent un produit scalaire $\langle x,y\rangle$, ou $\langle x\,|\,y\rangle$, ou encore $(x\,|\,y)$.

### Remarque
- Pour montrer les propriétés **1)** et **2)**, il suffit de montrer **1)** puis de montrer la linéarité par rapport à la première variable.