Produit télescopique

Définition formelle

Un produit télescopique est un produit de quotients consécutifs d’une suite réelle ou complexe $(u_k)_{k\geq 0}$, de la forme
$$P=\prod_{k=m}^{n}\frac{u_{k+1}}{u_k},$$où $m$ et $n$ sont des entiers tels que $0\leq m\leq n$, et où les termes $u_m,\dots,u_n$ sont non nuls.
Par simplification des facteurs intermédiaires, il vérifie l’identité
$$\prod_{k=m}^{n}\frac{u_{k+1}}{u_k} = \frac{u_{n+1}}{u_m}.$$

Exemple

• Pour $u_k=\frac{k}{5},$ on obtient, pour tout entier $n\geq 1$ :
  $$\prod_{k=1}^{n}\frac{k+1}{k} = \prod_{k=1}^{n}\frac{u_{k+1}}{u_k} = \frac{u_{n+1}}{u_1} = \frac{n+1}{1} = n+1.$$