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Added exercise "Du langage naturelle au langage mathématique"

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Les quantificateurs sont le langage des mathématiques. Ils sont ce que les lettres sont à l'alphabet. 

### Définition 
On distingue généralement trois quantificateurs :
1) Le quantificateur $\emph{universel}$ : Ce quantificateur est noté « $\forall$ » et se lit « pour tout ». Le prédicat
\[ \forall x \in E,\ P(x) \]
est vrai si et seulement si $P(x)$ est vrai pour tout élément $x$ de $E$.
2) Le quantificateur $\emph{existentiel}$ : Ce quantificateur est noté « $\exists$ » et se lit « il existe ». Le prédicat
\[ \exists x \in E,\ P(x) \]
est vrai si et seulement si il existe au moins un élément $x$ de $E$ pour lequel $P(x)$ est vrai.
3) Le quantificateur d'$\emph{unicité}$ : Ce quantificateur est noté « $\exists !$ » et se lit « il existe un unique ».Le prédicat
\[ \exists !\,x \in E,\ P(x) \]
est vrai si et seulement si il existe exactement un élément $x$ de $E$ vérifiant $P(x)$.

**Règles fondamentales**:
- On peut échanger deux quantificateurs universels *consécutifs* sans modifier la signification du prédicat. Ainsi,
\[ \forall x \in \mathbb{R},\ \forall y \in \mathbb{R},\ P(x,y) \]
est équivalent à
\[ \forall y \in \mathbb{R},\ \forall x \in \mathbb{R},\ P(x,y). \]
Par souci de concision, on écrit souvent
\[ \forall x,y \in \mathbb{R},\ P(x,y) \]
à la place de
\[ \forall x \in \mathbb{R},\ \forall y \in \mathbb{R},\ P(x,y). \]
Il en va de même pour l'échange entre deux quantificateurs existentielles successifs ou pour l'échange entre deux quantificateurs d'unicité successifs.
**Attention** : On ne peut généralement pas permuter un quantificateur universel et un quantificateur existentiel.
- La négation d'un quantificateur universel devient un quantificateur existentiel, et réciproquement :
\[ \neg \bigl(\forall x \in E,\ P(x)\bigr) \iff \exists x \in E,\ \neg P(x), \]
\[ \neg \bigl(\exists x \in E,\ P(x)\bigr) \iff \forall x \in E,\ \neg P(x). \]

**Rédaction**: 
- Pour montrer que « $\forall x \in E,\ P(x)$ », on considère un élément arbitraire $x \in E$ et l'on montre que $P(x)$ est vraie. La rédaction est alors de la forme :
\[ \text{Soit } x \in E. \]
\[ \vdots \]
\[ \text{Donc } P(x). \]
Comme $x$ a été choisi arbitrairement dans $E$, on conclut que
\[ \forall x \in E,\ P(x). \]
- Pour montrer que « $\exists x \in E,\ P(x)$ », il suffit d'exhiber un élément de $E$ vérifiant $P$. La rédaction est alors de la forme :
\[ \text{Posons } x = \cdots \]

Puis on vérifie que  $P(x)$ est vraie.
On conclut alors que
\[ \exists x \in E,\ P(x). \]
- Pour montrer « $\exists !\, x \in E,\ P(x)$ », on procède en deux étapes :
1) On montre l'existence d'un élément $x \in E$ tel que $P(x)$ soit vraie.
2) On montre l'unicité de cet élement $x$ : si $x,y \in E$ vérifient tous deux $P$, alors $x=y.$
On conclut alors que
\[ \exists !\, x \in E,\ P(x). \]

### Remarque
- Contrairement aux quantificateurs universels et d'existences, le quantificateur d'unicité n'est pas fondamental. En effet, il peut être défini à l'aide des seuls quantificateurs $\exists$ et $\forall$ ainsi que des connecteurs logiques :
\[ \exists !\, x \in E,\ P(x) \iff \exists x \in E, \, \Bigl( P(x) \land \forall y \in E,\, \bigl(P(y)\Rightarrow y=x\bigr) \Bigr). \]