Quantificateurs

Les quantificateurs sont le langage des mathématiques. Ils sont ce que les lettres sont à l’alphabet.

Définition

On distingue généralement trois quantificateurs :

1. Le quantificateur universel : ce quantificateur est noté « $\forall$ » et se lit « pour tout ». Le prédicat
   $$\forall x \in E,\ P(x)$$est vrai si et seulement si $P(x)$ est vrai pour tout élément $x$ de $E$.
2. Le quantificateur existentiel : ce quantificateur est noté « $\exists$ » et se lit « il existe ». Le prédicat
   $$\exists x \in E,\ P(x)$$est vrai si et seulement si il existe au moins un élément $x$ de $E$ pour lequel $P(x)$ est vrai.
3. Le quantificateur d'unicité : ce quantificateur est noté « $\exists !$ » et se lit « il existe un unique ». Le prédicat
   $$\exists !\,x \in E,\ P(x)$$est vrai si et seulement si il existe exactement un élément $x$ de $E$ vérifiant $P(x)$.

Règles fondamentales :

• On peut échanger deux quantificateurs universels consécutifs sans modifier la signification du prédicat. Ainsi,
  $$\forall x \in \mathbb{R},\ \forall y \in \mathbb{R},\ P(x,y)$$est équivalent à
  $$\forall y \in \mathbb{R},\ \forall x \in \mathbb{R},\ P(x,y).$$Par souci de concision, on écrit souvent
  $$\forall x,y \in \mathbb{R},\ P(x,y)$$à la place de
  $$\forall x \in \mathbb{R},\ \forall y \in \mathbb{R},\ P(x,y).$$Il en va de même pour l’échange entre deux quantificateurs existentielles successifs ou pour l’échange entre deux quantificateurs d’unicité successifs.
  Attention : on ne peut généralement pas permuter un quantificateur universel et un quantificateur existentiel.
  Exemple :
  Considérons les deux propositions suivantes :
  $$A : \forall n \in \mathbb{N},\ \exists m \in \mathbb{N},\quad m > n,$$$$B : \exists n \in \mathbb{N},\ \forall m \in \mathbb{N},\quad n > m.$$ L’ordre des quantificateurs est différent, ce qui modifie complètement le sens des propositions.
  La première proposition, $A$, signifie : Pour tout entier naturel $n$, il existe un entier naturel strictement plus grand que $n$. Cette proposition est vraie : il suffit par exemple de choisir $m=n+1$.

  La seconde proposition, $B$, signifie : Il existe un entier naturel strictement plus grand que tous les entiers naturels. Cette proposition est fausse : aucun entier naturel n’est plus grand que tous les autres.

• La négation d’un quantificateur universel devient un quantificateur existentiel, et réciproquement :
  $$\neg \bigl(\forall x \in E,\ P(x)\bigr) \iff \exists x \in E,\ \neg P(x),$$$$\neg \bigl(\exists x \in E,\ P(x)\bigr) \iff \forall x \in E,\ \neg P(x).$$

Rédaction :

• Pour montrer que « $\forall x \in E,\ P(x)$ », on considère un élément arbitraire $x \in E$ et l’on montre que $P(x)$ est vraie. La rédaction est alors de la forme :
  $$\text{Soit } x \in E.$$$$\vdots$$$$\text{Donc } P(x).$$Comme $x$ a été choisi arbitrairement dans $E$, on conclut que
  $$\forall x \in E,\ P(x).$$
• Pour montrer que « $\exists x \in E,\ P(x)$ », il suffit d’exhiber un élément de $E$ vérifiant $P$. La rédaction est alors de la forme :
  $$\text{Posons } x = \cdots$$

Puis on vérifie que $P(x)$ est vraie.
On conclut alors que
$$\exists x \in E,\ P(x).$$

• Pour montrer « $\exists !\, x \in E,\ P(x)$ », on procède en deux étapes :

1. On montre l’existence d’un élément $x \in E$ tel que $P(x)$ soit vraie.
2. On montre l’unicité de cet élement $x$ : si $x,y \in E$ vérifient tous deux $P$, alors $x=y.$
   On conclut alors que
   $$\exists !\, x \in E,\ P(x).$$

Remarque

• Contrairement aux quantificateurs universels et d’existences, le quantificateur d’unicité n’est pas fondamental. En effet, il peut être défini à l’aide des seuls quantificateurs $\exists$ et $\forall$ ainsi que des connecteurs logiques :
  $$\exists !\, x \in E,\ P(x) \iff \exists x \in E, \, \Bigl( P(x) \land \forall y \in E,\, \bigl(P(y)\implies y=x\bigr) \Bigr).$$