Ivan Shishkin, Rye (1878)

Problems/OtherExerciseUnreviewed

Du langage naturelle au langage mathématique

by SalixBabylonica·
20
Difficulty scaleÉchelle de difficulté

This score reflects both the level of the required concepts and the difficulty of the solution.Ce score tient compte à la fois du niveau des notions nécessaires et de la difficulté de la résolution.

  1. 1–10First steps / middle schoolPremiers pas / collège
  2. 11–25Beginner / high schoolDébutant / lycée
  3. 26–50Intermediate / undergraduateIntermédiaire / licence
  4. 51–70Advanced / graduateAvancé / master
  5. 71–90Expert / specializedExpert / spécialisé
  6. 91–100Research levelNiveau recherche
These levels are approximate guides.Ces niveaux sont des repères approximatifs.
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Soit f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}. Écrire à l’aide de quantificateurs les propriétés suivantes :

  1. ff est nulle sur R\mathbb{R},
  2. ff s’annule sur R\mathbb{R},
  3. ff est croissante sur R\mathbb{R},
  4. ff est strictement croissante sur R\mathbb{R}.
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Solutions

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Solution by SalixBabylonica

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  1. Dire que ff est nulle sur R\mathbb{R} signifie que chaque réel a pour image 00 :
    ∀x∈R,f(x)=0.\forall x \in \mathbb{R},\quad f(x)=0.
  2. Dire que ff s’annule sur R\mathbb{R} signifie qu’il existe au moins un réel dont l’image est nulle :
    ∃x∈R,f(x)=0.\exists x \in \mathbb{R},\quad f(x)=0.
  3. Dire que ff est croissante sur R\mathbb{R} signifie que l’ordre est conservé par ff :
    ∀x,y∈R,x≤y⇒f(x)≤f(y).\forall x,y \in \mathbb{R},\quad x \le y \Rightarrow f(x) \le f(y).
  4. Dire que ff est strictement croissante sur R\mathbb{R} signifie que l’ordre strict est conservé par ff :
    ∀x,y∈R,x≤y⇒f(x)≤f(y).\forall x,y \in \mathbb{R},\quad x \le y \Rightarrow f(x) \le f(y).
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