Raisonnement par analyse-synthèse
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Revision 7188
10/14/2026, 1:28:18 PM · 2doupi
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aliasesNoneanalyse-synthèse
Revision 6491
10/3/2026, 10:27:18 AM · SalixBabylonica
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##### Définition2
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Un raisonnement par analyse-synthèse pour résoudre un problème se déroule en deux étapes :4
**Analyse** On suppose que notre problème possède une solution et on cherche quelle forme elle peut avoir.5
**Synthèse** On part des solutions potentielles trouvées dans l'analyse et on vérifie qu'elles sont (ou non) des solutions à notre problème.6
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##### Utilisation en pratique8
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En pratique on raisonne par analyse synthèse lorsqu'on souhaite manipuler des solutions d'un problème dont on ignore s'il existe même des solutions.10
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#### Exemple détaillé12
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* On veut déterminer toutes les fonctions $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ telles que14
$$\forall (x,y)\in\mathbb{R}^{2},f(x)f(y)=f(x)+f(y).$$15
**Analyse** Soit $f$ une telle fonction. Soit $x\in\mathbb{R}$. En appliquant la relation pour $y=x$, on a $f(x)^{2}=2f(x)$ donc $f(x)(f(x)-2)=0$. On en déduit que $\forall x\in\mathbb{R}, (f(x)=0$ ou $f(x)=2)$. *La fonction peut, a priori prendre la valeur* $0$ *pour certains* $x$ *et* $2$ *pour d'autres*. Supposons qu'il existe $x_{0}\in\mathbb{R}$ tel que $f(x_{0})=0$. Soit $y\in\mathbb{R},$ on a $f(x_{0})f(y)=f(x_{0})+f(y)$ ce qui donne $f(y)=0$. La fonction $f$ est donc constante égale à $0$ ou constante égale à $2.$15
**Analyse** Soit $f$ une telle fonction. Soit $x\in\mathbb{R}$. En appliquant la relation pour $y=x$, on a $f(x)^{2}=2f(x)$ donc $f(x)(f(x)-2)=0$. On en déduit que $\forall x\in\mathbb{R}, (f(x)=0$ ou $f(x)=2)$. *La fonction peut, a priori prendre la valeur* $0$ *pour certains* $x$ *et* $2$ *pour d'autres*.16
Supposons qu'il existe $x_{0}\in\mathbb{R}$ tel que $f(x_{0})=0$. Soit $y\in\mathbb{R},$ on a $f(x_{0})f(y)=f(x_{0})+f(y)$ ce qui donne $f(y)=0$.17
De même, si on suppose qu'il existe $x_{0}\in\mathbb{R}$ tel que $f(x_{0})=2$, alors pour tout $y \in \mathbb{R}$, on a $2f(y) = 2+f(y)$ ce qui donne $f(y)=2$.18
La fonction $f$ est donc constante égale à $0$ ou constante égale à $2.$16
*Pour le moment tout ce qu'on peut dire c'est que* **S'IL Y A DES SOLUTIONS** *alors c'est soit la fonction constante égale à* $0$ *soit celle égale à* $2.$17
**Synthèse** Soit $f$ constante égale à $0$. On a alors $\forall x,y\in\mathbb{R},f(x)f(y)=0=f(x)+f(y)$ donc la fonction nulle est bien solution. De même si $f$ constante égale à $2$ alors $\forall x,y,f(x)f(y)=2^{2}=4$ et $f(x)+f(y)=2+2=4$ donc $f\colon x\mapsto 2$ est aussi solution.Revision 6490
10/3/2026, 10:22:21 AM · SalixBabylonica
Concept marked usable
statusStubUsable
Revision 6468
10/3/2026, 12:07:05 AM · FiniteField
Added exercise "Une décomposition salvatrice"
linked exercisesNoneUne décomposition salvatrice
Revision 6467
10/3/2026, 12:01:58 AM · FiniteField
Concept created
##### Définition
Un raisonnement par analyse-synthèse pour résoudre un problème se déroule en deux étapes :
**Analyse** On suppose que notre problème possède une solution et on cherche quelle forme elle peut avoir.
**Synthèse** On part des solutions potentielles trouvées dans l'analyse et on vérifie qu'elles sont (ou non) des solutions à notre problème.
##### Utilisation en pratique
En pratique on raisonne par analyse synthèse lorsqu'on souhaite manipuler des solutions d'un problème dont on ignore s'il existe même des solutions.
#### Exemple détaillé
* On veut déterminer toutes les fonctions $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ telles que
$$\forall (x,y)\in\mathbb{R}^{2},f(x)f(y)=f(x)+f(y).$$
**Analyse** Soit $f$ une telle fonction. Soit $x\in\mathbb{R}$. En appliquant la relation pour $y=x$, on a $f(x)^{2}=2f(x)$ donc $f(x)(f(x)-2)=0$. On en déduit que $\forall x\in\mathbb{R}, (f(x)=0$ ou $f(x)=2)$. *La fonction peut, a priori prendre la valeur* $0$ *pour certains* $x$ *et* $2$ *pour d'autres*. Supposons qu'il existe $x_{0}\in\mathbb{R}$ tel que $f(x_{0})=0$. Soit $y\in\mathbb{R},$ on a $f(x_{0})f(y)=f(x_{0})+f(y)$ ce qui donne $f(y)=0$. La fonction $f$ est donc constante égale à $0$ ou constante égale à $2.$
*Pour le moment tout ce qu'on peut dire c'est que* **S'IL Y A DES SOLUTIONS** *alors c'est soit la fonction constante égale à* $0$ *soit celle égale à* $2.$
**Synthèse** Soit $f$ constante égale à $0$. On a alors $\forall x,y\in\mathbb{R},f(x)f(y)=0=f(x)+f(y)$ donc la fonction nulle est bien solution. De même si $f$ constante égale à $2$ alors $\forall x,y,f(x)f(y)=2^{2}=4$ et $f(x)+f(y)=2+2=4$ donc $f\colon x\mapsto 2$ est aussi solution.