Raisonnement par analyse-synthèse

Définition

Un raisonnement par analyse-synthèse pour résoudre un problème se déroule en deux étapes :
Analyse On suppose que notre problème possède une solution et on cherche quelle forme elle peut avoir.
Synthèse On part des solutions potentielles trouvées dans l’analyse et on vérifie qu’elles sont (ou non) des solutions à notre problème.

Utilisation en pratique

En pratique on raisonne par analyse synthèse lorsqu’on souhaite manipuler des solutions d’un problème dont on ignore s’il existe même des solutions.

Exemple détaillé

• On veut déterminer toutes les fonctions $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ telles que
  $$\forall (x,y)\in\mathbb{R}^{2},f(x)f(y)=f(x)+f(y).$$Analyse Soit $f$ une telle fonction. Soit $x\in\mathbb{R}$. En appliquant la relation pour $y=x$, on a $f(x)^{2}=2f(x)$ donc $f(x)(f(x)-2)=0$. On en déduit que $\forall x\in\mathbb{R}, (f(x)=0$ ou $f(x)=2)$. La fonction peut, a priori prendre la valeur $0$ pour certains $x$ et $2$ pour d’autres.
  Supposons qu’il existe $x_{0}\in\mathbb{R}$ tel que $f(x_{0})=0$. Soit $y\in\mathbb{R},$ on a $f(x_{0})f(y)=f(x_{0})+f(y)$ ce qui donne $f(y)=0$.
  De même, si on suppose qu’il existe $x_{0}\in\mathbb{R}$ tel que $f(x_{0})=2$, alors pour tout $y \in \mathbb{R}$, on a $2f(y) = 2+f(y)$ ce qui donne $f(y)=2$.
  La fonction $f$ est donc constante égale à $0$ ou constante égale à $2.$
  Pour le moment tout ce qu’on peut dire c’est que S’IL Y A DES SOLUTIONS alors c’est soit la fonction constante égale à $0$ soit celle égale à $2.$
  Synthèse Soit $f$ constante égale à $0$. On a alors $\forall x,y\in\mathbb{R},f(x)f(y)=0=f(x)+f(y)$ donc la fonction nulle est bien solution. De même si $f$ constante égale à $2$ alors $\forall x,y,f(x)f(y)=2^{2}=4$ et $f(x)+f(y)=2+2=4$ donc $f\colon x\mapsto 2$ est aussi solution.