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Ajout exercice lié : 0 est-il supérieur à 1

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##### Définition intuitive

Une relation d'ordre est une façon de comparer les éléments d'un ensemble entre eux en définissant qui est plus grand que qui.

##### Définition formelle

Soit $E$ un ensemble et $\prec$ une relation binaire sur $E$. On dit que $\prec$ est une *relation d'ordre* sur $E$ si
* $\prec$ est *[[relation-reflexive|réflexive]]* : $\forall x\in E, x\prec x$
* $\prec$ est *antisymétrique* : $\forall x,y\in E,( x\prec y$ et $y\prec x\Rightarrow x=y$)
* $\prec$ est *transitive* : $\forall x,y,z\in E, (x\prec y$ et $y\prec z\Rightarrow x\prec z$)
Dans ce cas $(E,\prec)$ est appelé ensemble ordonné.

Si de plus $\forall x,y\in E, x\prec y$ ou $y\prec x$ alors la relation d'ordre est dite *totale*.

##### Exemples

* $(\mathbb{R},\leqslant)$ est un ensemble ordonné et la relation d'ordre est totale car pour tout couple de réel il y en a forcément un plus grand que l'autre.
- Si $E$ est un ensemble alors $(\mathcal{P}(E),\subset)$ est une relation d'ordre mais elle n'est pas totale si $E$ possède plus de deux éléments. En effet, si $\exists x\neq y\in E$ alors $\set{x}$ et $\set{y}$ ne sont pas inclus l'un dans l'autre.