Relation d'ordre

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Une relation d’ordre est une façon de comparer les éléments d’un ensemble entre eux en définissant qui est plus grand que qui.

Soit $E$ un ensemble et $\prec$ une relation binaire sur $E$ . On dit que $\prec$ est une relation d’ordre sur $E$ si

$\prec$ est réflexive : $\forall x\in E, x\prec x$
$\prec$ est antisymétrique : $\forall x,y\in E,( x\prec y$ et $y\prec x\Rightarrow x=y$ )
$\prec$ est transitive : $\forall x,y,z\in E, (x\prec y$ et $y\prec z\Rightarrow x\prec z$ )
Dans ce cas $(E,\prec)$ est appelé ensemble ordonné.

Si de plus $\forall x,y\in E, x\prec y$ ou $y\prec x$ alors la relation d’ordre est dite totale.

$(\mathbb{R},\leqslant)$ est un ensemble ordonné et la relation d’ordre est totale car pour tout couple de réel il y en a forcément un plus grand que l’autre.

Si $E$ est un ensemble alors $(\mathcal{P}(E),\subset)$ est une relation d’ordre mais elle n’est pas totale si $E$ possède plus de deux éléments. En effet, si $\exists x\neq y\in E$ alors $\set{x}$ et $\set{y}$ ne sont pas inclus l’un dans l’autre.

Practice this concept with exercises

Pour $a,b\in\mathbb{N}$ on pose $a\prec b$ si $a\mid b$ ( $a$ divise $b$ ).
1. Montrer que $\prec$ est une relation d’ordre. Est-elle totale ?
2. Montrer que $0=\max\limits_{\prec}(\mathbb{N})$ et $1=\min\limits_{\prec}(\mathbb{N})$ .
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