semblable

Définition intuitive

Deux matrices sont semblables lorsqu’elles décrivent le même endomorphisme, vu dans deux bases différentes. C’est la relation qui formalise l’idée qu’une matrice n’est qu’une écriture : les coefficients dépendent du repère choisi, l’objet géométrique sous-jacent n’en dépend pas. Toute la théorie de la réduction consiste alors à chercher, dans une classe de similitude, le représentant le plus simple possible.

Définition formelle

Soient $\mathbb{K}$ un corps et $A,B\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$. On dit que $A$ et $B$ sont semblables sur $\mathbb{K}$, et l’on note $A\sim B$, s’il existe $P\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$ telle que
$$B=P^{-1}AP .$$

C’est une relation d’équivalence : réflexive avec $P=I_n$, symétrique en remplaçant $P$ par $P^{-1}$, transitive en composant les matrices de passage. Ses classes sont les classes de similitude, c’est-à-dire les orbites de l’action de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$ sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ par conjugaison.

Interprétation. Si $u\in\mathcal{L}(E)$ avec $\dim E=n$, et si $\mathcal{B},\mathcal{B}'$ sont deux bases de $E$, alors
$$\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(u)=P^{-1}\,\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u)\,P,\qquad P=\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(\mathcal{B}').$$Réciproquement, deux matrices semblables représentent un même endomorphisme dans deux bases. La similitude est donc exactement la relation « même endomorphisme ».

Invariants. Si $A\sim B$, alors
$$\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}B,\quad \operatorname{tr}A=\operatorname{tr}B,\quad \det A=\det B,\quad \chi_A=\chi_B,\quad \mu_A=\mu_B,\quad \operatorname{Sp}A=\operatorname{Sp}B,$$avec les mêmes multiplicités algébriques et géométriques, et $\operatorname{rg}(A-\lambda I)^{k}=\operatorname{rg}(B-\lambda I)^{k}$ pour tous $\lambda,k$.

Théorème (invariant complet, Frobenius). Toute $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ est semblable à une unique matrice diagonale par blocs $\operatorname{diag}(C_{P_1},\dots,C_{P_r})$, où les $C_{P_i}$ sont des matrices compagnons et $P_1\mid P_2\mid\cdots\mid P_r$. Ces facteurs invariants vérifient $P_r=\mu_A$ et $\prod_iP_i=\chi_A$, et
$$A\sim B\iff A \text{ et } B \text{ ont les mêmes facteurs invariants}.$$