Série génératrice
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Revision 7065
10/12/2026, 8:12:14 PM · Ancient Tree
Added exercise "Série génératrice d'une suite constante"
linked exercisesNoneSérie génératrice d’une suite constante
Revision 7064
10/12/2026, 8:00:52 PM · Ancient Tree
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##### Intuition2
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Il est souvent difficile d'étudier directement une [[suite|suite]] $(u_{n})$, par exemple lorsqu'elle est [[définie par récurrence|définie par récurrence]].3
Il est souvent difficile d'étudier directement une [[suite|suite]] $(u_{n})$, par exemple lorsqu'elle est [[Définition d'une suite par récurrence|définie par récurrence]].4
On introduit alors l'application suivante, appelée série génératrice :5
$$G(x)=u_{0}+u_{1}x+u_{2}x^{2}+\cdots$$6
De manière surprenante, il s'avère qu'il s'agit d'un outil très puissant pour étudier la suite.7
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##### Définition formelle9
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Soit $(u_n)_{n\in\mathbb N}$ une [[suite|suite]] à valeurs dans un [[anneau commutatif|anneau commutatif]] $A$. 11
On appelle série génératrice ordinaire de $(u_n)$ la [[série formelle|série formelle]] :12
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$$14
G(x)=\sum_{n\geqslant 0}^{}u_nx^n15
$$16
où $x$ est une [[indéterminée|indéterminée]].Revision 7052
10/12/2026, 4:47:33 PM · Ancient Tree
Concept created
##### Intuition
Il est souvent difficile d'étudier directement une [[suite|suite]] $(u_{n})$, par exemple lorsqu'elle est [[définie par récurrence|définie par récurrence]].
On introduit alors l'application suivante, appelée série génératrice :
$$G(x)=u_{0}+u_{1}x+u_{2}x^{2}+\cdots$$
De manière surprenante, il s'avère qu'il s'agit d'un outil très puissant pour étudier la suite.
##### Définition formelle
Soit $(u_n)_{n\in\mathbb N}$ une [[suite|suite]] à valeurs dans un [[anneau commutatif|anneau commutatif]] $A$.
On appelle série génératrice ordinaire de $(u_n)$ la [[série formelle|série formelle]] :
$$
G(x)=\sum_{n\geqslant 0}^{}u_nx^n
$$
où $x$ est une [[indéterminée|indéterminée]].