Série génératrice

Intuition

Il est souvent difficile d’étudier directement une suite $(u_{n})$, par exemple lorsqu’elle est définie par récurrence.
On introduit alors l’application suivante, appelée série génératrice :
$$G(x)=u_{0}+u_{1}x+u_{2}x^{2}+\cdots$$De manière surprenante, il s’avère qu’il s’agit d’un outil très puissant pour étudier la suite.

Définition formelle

Soit $(u_n)_{n\in\mathbb N}$ une suite à valeurs dans un anneau commutatif $A$.
On appelle série génératrice ordinaire de $(u_n)$ la série formelle :

$$G(x)=\sum_{n\geqslant 0}^{}u_nx^n$$où $x$ est une indéterminée.