Solvabilité en radicaux d’un polynôme

Une équation polynomiale $P(x)=0, P\in \mathbb{K}[X]$ admet une solution en radicaux si toutes ses solutions peuvent être exprimées en utilisant seulement des additions, soustractions, produits, divisions, et racines $n$-ième d’éléments de $\mathbb{K}$.

Par exemple, $x^{2}+bx+c=0$ admet une solution en radicaux pour tout $b,c\in\mathbb{K}$ puisque les solutions prennent la forme $\displaystyle\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4c}}{2}$.

Dans les faits, toute équation polynomiale de degré $3$ (formules de Cartan) et $4$ (formules de Ferrari) admettent une solution en radicaux. Cependant, il n’existe pas de formule générale pour le $5$-ème degré, c’est le théorème d’Abel.

La théorie qui pose si un polynome admet une solution en radicaux ou non s’appelle la théorie de Galois.