Sommation des relations de comparaison des séries divergentes

Théorème (cas divergent)
Soit $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites réelles positives à partir d’un certain rang telle que telles $\displaystyle \sum\limits v_{n}$ diverge.

• Si $u_{n}\sim v_{n}$ alors $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_{k}\sim\sum_{k=0}^{n}v_{k}$
• Si $u_{n}=o(v_{n})$ alors $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_{k}=o\left(\sum_{k=0}^{n}v_{k}\right)$
• Si $u_{n}=O(v_{n})$ alors $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_{k}=O\left(\sum_{k=0}^{n}v_{k}\right).$

Exemple 1 (théorème de Césaro) :
Si $(u_{n})$ converge vers une limite $\ell$ finie alors $u_{n}=\ell+o(1)$. La série de terme général $v_{n}=1$ diverge donc $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}(u_{k}-\ell)=o\left(\sum_{k=0}^{n-1}1\right)=o(n)$ ce qui prouve que
$$\dfrac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}u_{k}\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}\ell.$$

Exemple 2
La suite de terme général $u_{n}=\sin\left(\dfrac1n\right)$ diverge car $u_{n}\sim \dfrac1n$ et en sommant les relations de comparaison on a
$$\sum_{k=1}^{n}u_{k}\sim\sum_{k=1}^{n}\dfrac1k\sim \ln(n).$$Théorème (cas convergent)
Soit $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites réelles positives à partir d’un certain rang telle que telles $\displaystyle \sum\limits v_{n}$ converge.

• Si $u_{n}\sim v_{n}$ alors $\displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_{k}\sim\sum_{k=n+1}^{+\infty}v_{k}$
• Si $u_{n}=o(v_{n})$ alors $\displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_{k}=o\left(\sum_{k=n+1}^{+\infty}v_{k}\right)$
• Si $u_{n}=O(v_{n})$ alors $\displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_{k}=O\left(\sum_{k=n+1}^{+\infty}v_{k}\right)$.