Ivan Shishkin, Birch Grove

Somme directe

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Revision 7126

10/13/2026, 12:49:51 PM · SalixBabylonica

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1##### Définition intuitive
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3Soit $E$ un espace vectoriel sur un corps $\mathbb{K}$, et soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. Lorsqu'on considère l'espace vectoriel $F+G$, on peut se demander si les éléments $u=f+g$ de cette somme ont une écriture unique, i.e. si $u=f+g=f'+g'$, alors $f=f'$ et $g=g'$. Dans ce cas, on dit que la somme est directe.
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5##### Définition
6- Somme directe de $2$ sous-espaces vectoriels
7Soient $F$ et $G$ des sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel $E$. On dit que la somme
8\[ F+G\]
9est **directe** lorsque
10\[ \forall x\in F+G, \qquad \exists !(x_F,x_G)\in F\times G \]
11tel que
12\[ x=x_F+x_{G}. \]
13On note alors
14\[ F+G = F\oplus G. \]
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7- Somme directe de $n$ sous-espaces vectoriels
8Soient $F_1,\dots,F_n$ des sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel $E$. On dit que la somme
9\[ F_1+\cdots+F_n \]
10est **directe** lorsque
11\[ \forall x\in F_1+\cdots+F_n, \qquad \exists !(x_1,\dots,x_n)\in F_1\times\cdots\times F_n \]
12tel que
13\[ x=x_1+\cdots+x_n. \]
14On note alors
15\[ F_1+\cdots+F_n = F_1\oplus\cdots\oplus F_n. \]
16##### Propriété
17- Dans le cas de deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$,
18\[ F\oplus G \iff F\cap G=\{0\}. \]
19Cette caractérisation est souvent plus facile à utiliser que la définition par l'unicité de la décomposition.
20
21- Plus généralement, soient $F_1,\dots,F_n$ des sous-espaces vectoriels de $E$. Alors
22\[ F_1\oplus\cdots\oplus F_n \iff F_1\oplus\cdots\oplus F_{n-1} \text{ et } \left(F_1+\cdots+F_{n-1}\right)\cap F_n=\{0\}.\]
23
24Cette caractérisation permet de montrer par récurrence qu'une somme de plusieurs sous-espaces vectoriels est directe.
25
26##### Exemples
27
28- Deux droites qui se coupent en $0$ sont en somme directe.
29- Un exemple important ! Soit $\mathcal{F}(\R,\R)$ l'ensemble des fonctions de $\R$ dans $\R$. On note $\mathcal{P}$ l'ensemble des fonctions paires, et $\mathcal{I}$ l'ensemble des fonctions impaires. Alors, $\mathcal{F}(\R,\R)=\mathcal{P}\oplus\mathcal{I}$.

Revision 7125

10/13/2026, 12:47:31 PM · SalixBabylonica

Updated title and text

titlesomme directeSomme directe
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1##### Définition intuitive
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3Soit $E$ un espace vectoriel sur un corps $k$, et soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. Lorsqu'on considère l'espace vectoriel $F+G$, on peut se demander si les éléments $u=f+g$ de cette somme ont une écriture unique, i.e. si $u=f+g=f'+g'$, alors $f=f'$ et $g=g'$. Dans ce cas, on dit que la somme est directe.
3Soit $E$ un espace vectoriel sur un corps $\mathbb{K}$, et soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. Lorsqu'on considère l'espace vectoriel $F+G$, on peut se demander si les éléments $u=f+g$ de cette somme ont une écriture unique, i.e. si $u=f+g=f'+g'$, alors $f=f'$ et $g=g'$. Dans ce cas, on dit que la somme est directe.
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5##### Définition formelle
5##### Définition
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7Soit $E$ un espace vectoriel sur un corps $k$, et soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. On dit que $F$ et $G$ sont en somme directe, qu'on note $F\bigoplus G$, lorsque l'intersection $F\cap G$ est réduite au singleton $\{0\}$. On peut remarquer que, dans ce cas, tout élément de la somme a bien une écriture unique comme somme d'éléments de $F$ et de $G$.
7- Somme directe de $n$ sous-espaces vectoriels
8Soient $F_1,\dots,F_n$ des sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel $E$. On dit que la somme
9\[ F_1+\cdots+F_n \]
10est **directe** lorsque
11\[ \forall x\in F_1+\cdots+F_n, \qquad \exists !(x_1,\dots,x_n)\in F_1\times\cdots\times F_n \]
12tel que
13\[ x=x_1+\cdots+x_n. \]
14On note alors
15\[ F_1+\cdots+F_n = F_1\oplus\cdots\oplus F_n. \]
16##### Propriété
17- Dans le cas de deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$,
18\[ F\oplus G \iff F\cap G=\{0\}. \]
19Cette caractérisation est souvent plus facile à utiliser que la définition par l'unicité de la décomposition.
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21- Plus généralement, soient $F_1,\dots,F_n$ des sous-espaces vectoriels de $E$. Alors
22\[ F_1\oplus\cdots\oplus F_n \iff F_1\oplus\cdots\oplus F_{n-1} \text{ et } \left(F_1+\cdots+F_{n-1}\right)\cap F_n=\{0\}.\]
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24Cette caractérisation permet de montrer par récurrence qu'une somme de plusieurs sous-espaces vectoriels est directe.
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9##### Exemples
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11- Deux droites qui se coupent en $0$ sont en somme directe.
12- Un exemple important ! Soit $\mathcal{F}(\R,\R)$ l'ensemble des fonctions de $\R$ dans $\R$. On note $\mathcal{P}$ l'ensemble des fonctions paires, et $\mathcal{I}$ l'ensemble des fonctions impaires. Alors, $\mathcal{F}(\R,\R)=\mathcal{P}\bigoplus\mathcal{I}$.
29- Un exemple important ! Soit $\mathcal{F}(\R,\R)$ l'ensemble des fonctions de $\R$ dans $\R$. On note $\mathcal{P}$ l'ensemble des fonctions paires, et $\mathcal{I}$ l'ensemble des fonctions impaires. Alors, $\mathcal{F}(\R,\R)=\mathcal{P}\oplus\mathcal{I}$.

Revision 7073

10/12/2026, 10:05:23 PM · NawzadHogan

Concept created

##### Définition intuitive

Soit $E$ un espace vectoriel sur un corps $k$, et soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. Lorsqu'on considère l'espace vectoriel $F+G$, on peut se demander si les éléments $u=f+g$ de cette somme ont une écriture unique, i.e. si $u=f+g=f'+g'$, alors $f=f'$ et $g=g'$.  Dans ce cas, on dit que la somme est directe.

##### Définition formelle

Soit $E$ un espace vectoriel sur un corps $k$, et soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. On dit que $F$ et $G$ sont en somme directe, qu'on note $F\bigoplus G$, lorsque l'intersection $F\cap G$ est réduite au singleton $\{0\}$. On peut remarquer que, dans ce cas, tout élément de la somme a bien une écriture unique comme somme d'éléments de $F$ et de $G$. 

##### Exemples

- Deux droites qui se coupent en $0$ sont en somme directe.
- Un exemple important ! Soit $\mathcal{F}(\R,\R)$ l'ensemble des fonctions de $\R$ dans $\R$. On note $\mathcal{P}$ l'ensemble des fonctions paires, et $\mathcal{I}$ l'ensemble des fonctions impaires. Alors, $\mathcal{F}(\R,\R)=\mathcal{P}\bigoplus\mathcal{I}$.