Somme directe

Définition intuitive

Soit $E$ un espace vectoriel sur un corps $\mathbb{K}$, et soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. Lorsqu’on considère l’espace vectoriel $F+G$, on peut se demander si les éléments $u=f+g$ de cette somme ont une écriture unique, i.e. si $u=f+g=f'+g'$, alors $f=f'$ et $g=g'$. Dans ce cas, on dit que la somme est directe.

Définition

• Somme directe de $2$ sous-espaces vectoriels
  Soient $F$ et $G$ des sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel $E$. On dit que la somme
  $$F+G$$est directe lorsque
  $$\forall x\in F+G, \qquad \exists !(x_F,x_G)\in F\times G$$tel que
  $$x=x_F+x_{G}.$$On note alors
  $$F+G = F\oplus G.$$

• Somme directe de $n$ sous-espaces vectoriels
  Soient $F_1,\dots,F_n$ des sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel $E$. On dit que la somme
  $$F_1+\cdots+F_n$$est directe lorsque
  $$\forall x\in F_1+\cdots+F_n, \qquad \exists !(x_1,\dots,x_n)\in F_1\times\cdots\times F_n$$tel que
  $$x=x_1+\cdots+x_n.$$On note alors
  $$F_1+\cdots+F_n = F_1\oplus\cdots\oplus F_n.$$

Propriété

• Dans le cas de deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$,
  $$F\oplus G \iff F\cap G=\{0\}.$$Cette caractérisation est souvent plus facile à utiliser que la définition par l’unicité de la décomposition.

• Plus généralement, soient $F_1,\dots,F_n$ des sous-espaces vectoriels de $E$. Alors
  $$F_1\oplus\cdots\oplus F_n \iff F_1\oplus\cdots\oplus F_{n-1} \text{ et } \left(F_1+\cdots+F_{n-1}\right)\cap F_n=\{0\}.$$

Cette caractérisation permet de montrer par récurrence qu’une somme de plusieurs sous-espaces vectoriels est directe.

Exemples

• Deux droites qui se coupent en $0$ sont en somme directe.
• Un exemple important ! Soit $\mathcal{F}(\R,\R)$ l’ensemble des fonctions de $\R$ dans $\R$. On note $\mathcal{P}$ l’ensemble des fonctions paires, et $\mathcal{I}$ l’ensemble des fonctions impaires. Alors, $\mathcal{F}(\R,\R)=\mathcal{P}\oplus\mathcal{I}$.